Производная от х^-1
Знаю,что производная от х^-1 равна 1/-х^2, как это получается?
Не надо брать предел. Через предел доказываем свойства производной. И потом их используем.
И через предел доказываем, что x' = 1. Один раз.
Просто из линейности и тождества Лейбница нельзя вывести производную икса.
Всё. Свойства доказали, производную икса вывели.
Далее:
Производные всех дробно-рациональных функций далее можно находить, используя свойства производной, не залезая уже в пределы.
Это даже полезно - мало ли, набьешь руку, потом поелезешь во всякие алгебры с дифференцированием, а рука-то набита уже, а свойства оператора дифференцирования там похожие.
Нам пригодится такое для производной частного:
(f/g)' = (f'g - g'f)/g^2, подставляем f(x) = 1, g(x) = x, получаем
(f/g)' = (0*x - 1*1)/x^2 = -1/x^2
Собственно, я даже не хотел эту производную частоного использовать. Приятнее производную произведения:
x * (1/x) = 1
x' * (1/x) + x*(1/x)' = 1'
(1/x) + x*(1/x)' = 0
=> (1/x)' = -1/x^2
По определению производной можно в одну строчку получить. Попробуйте, там всего-то надо к общему знаменателю привести и потом взять предел.