Откуда 3/2 в формуле для внутренней энергии идеального газа?

3/2 - это коэффициент, зависящий от числа степеней свободы молекул газа. Для одноатомного газа число степеней свободы равно 3, так как молекулы могут двигаться по трем осям. Средняя кинетическая энергия одной молекулы равна E=i/2kT, где i - число степеней свободы, k - постоянная Больцмана, T - температура. Внутренняя энергия газа равна сумме кинетических энергий всех молекул, то есть U=NE, где N - число молекул. Если выразить N через количество вещества ν и постоянную Авогадро NA​, а также использовать уравнение состояния идеального газа pV=νRT, то получим U=i/2νNA​kT=i/2νRT=i/2pV. Отсюда видно, что для одноатомного газа i/2=3/2. Для двухатомного газа число степеней свободы равно 5, так как молекулы могут двигаться по трем осям и вращаться вокруг двух осей. Для многоатомного газа число степеней свободы равно 6, так как молекулы могут двигаться по трем осям и вращаться вокруг трех осей.

Из формулы ШАРА -- Газ распространяется по всем плоскостям одинаково

А это и есть ШАР

В среднем на молекулу приходится по (k T / 2) энергии на каждую её степень свободы (колебательные учитываются дважды). Поэтому средняя энергия газа из N одинаковых частиц с i степенями свободы:
E = (i/2) N k T =
= (i/2) (N / Na) (Na k) T =
= (i/2) v R T.