Физика, задача, электростатика
В шаре радиуса 2R, несущем равномерно распределенный заряд с объемной плотностью p, сделан сферический вырез радиусом R. Найти напряженность Е поля в точках О, А и O1. Прошу подробное решение с полным ответом. Здесь нужно использовать теорему Остроградского-Гаусса
Для нахождения напряженности электрического поля в точках О, А и O1 воспользуемся формулой для поля шара:
E = k * Q * r / R^3
где E - напряженность электрического поля, k - электростатическая постоянная (k = 9 * 10^9 Н * м^2 / Кл^2), Q - заряд, r - расстояние от точки до заряда, R - радиус шара.
Рассмотрим каждую точку по отдельности:
Точка О: Расстояние от центра выреза до заряда равно R, поэтому r = R. Также, в точке О находится заряд, равный объему выреза, т.е. Q = (4/3) * π * R^3 * p. Подставив значения в формулу, получим:
E_O = k * (4/3) * π * R^3 * p * R / R^3
= (4/3) * π * k * p
Точка А: Расстояние от центра шара до заряда равно 2R, поэтому r = 2R. Заряд в точке А равен объему шара, минус объему выреза, т.е. Q = (4/3) * π * (2R)^3 * p - (4/3) * π * R^3 * p. Подставив значения в формулу, получим:
E_A = k * [(4/3) * π * (2R)^3 * p - (4/3) * π * R^3 * p] * 2R / R^3
= (8/3) * π * k * p * R
Точка O1: Расстояние от центра шара до заряда равно R/2, поэтому r = R/2. Также, в точке O1 находится заряд, равный объему шара, т.е. Q = (4/3) * π * (2R)^3 * p. Подставив значения в формулу, получим:
E_O1 = k * (4/3) * π * (2R)^3 * p * (R/2) / R^3
= 2 * π * k * p
Таким образом, мы получаем значения напряженности электрического поля в точках О, А и O1:
E_O = (4/3) * π * k * p
E_A = (8/3) * π * k * p * R
E_O1 = 2 * π * k * p
V'=V+V1
V' - объем сплошного (без полости) шара
V - объем шара со сферической полостью
V1 - объем шара, равный объему полости.
Если р - объемная плотность заряда, то
Q'=p *V'=p*(4/3)*pi*(2R)^3
Q1=p *V1=p*(4/3)*pi*R^3
Q=p*(V'-V1)=p*(4/3)*pi*R^3 (8-1)=p*(28/3)*pi*R^3
По теореме Остроградского
E'=k*Q'/r^2
E1=k*Q1/r^2
E=k*Q/r^2, где
k=1/(4*pi*e0)
e0=8,85*10^-12 Ф/м
r - текущая координата
По принципу суперпозиции полей (векторно)
E'=E + E1
Векторы напряженности сферических тел направлены радиально, поэтому напряженность по модулю
IEI=IE'I - IE1I
1) В точке О1 по теореме Остроградского E1=0 (нет зарядов)
E(O1)=E' - E1=k*p*(32/3)*pi*R
2) В точке А
E(A)=k*p*(4/3)*pi*8R - k*p*(4/3)*pi*(R/9)=k*pi*(4/3)*pi*(71/9)*R
3) В точке О по теореме Остроградского E'=0, тогда E= -E1
E(О)= -k*p*(4/3)*pi*R то есть, если за положительное направление принято направление вектора напряженности сплошного шара, то в точке О суммарный вектор напряженности направлен в противоположную сторону.
Рассмотрим равномерно заряженный шар. Внутри шара можно выбрать сферическую поверхность радиусом r с центром в центре шара. Поле E везде направлено радиально, значит перпендикулярно выбранной поверхности, и зависит только от расстояния до центра шара (т. к. все симметрично).
Раз поле везде на поверхности одинаково и перпендикулярно ей, значит поток поля E через поверхность:
Ф (r) = E (r) S (r)
где E (r) - модуль напряженности на расстоянии r от центра, а S (r) - площадь поверхности сферы радиусом r. (S (r) = 4 пr^2)
По теореме Гаусса поток равен (с точностью до множителя) полному заряду внутри поверхности:
Ф (r) = Q (r) / eo
Q (r) = (4 п/3) r^3 p - заряд внутри сферы радиусом r. (p - плотность заряда)
4 п r^2 E (r) = (4 п/3) r^3 p
E (r) = p r / 3 - Напряженность поля внутри шара на расстоянии r от центра.
Снаружи шара поле от него как точечного заряда в центре шара.
Ну теперь вам осталось применить аддитивность. Шар с незаряженной областью это то же самое, что заряженный полностью шар, а внутри область с противоположным по знаку зарядом. на тоже шар. А поле шара внутри мы уже получили. Осталось сложить поля (векторно) и получить ответ
Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Остроградского-Гаусса, которая связывает поток электрического поля через замкнутую поверхность с зарядом внутри этой поверхности. Формула для этой теоремы выглядит следующим образом:
∮_S 𝐄· d𝐒 = Q_внутри/ε_0
где:
- ∮_S - интеграл по поверхности S,
- 𝐄 - вектор напряженности электрического поля,
- d𝐒 - элемент площади поверхности,
- Q_внутри - заряд внутри поверхности,
- ε_0 - абсолютная диэлектрическая проницаемость (в вакууме ε_0 = 8.85 × 10^-12 Ф/м).
Теперь давайте рассмотрим задачу.
По условию у нас есть шар радиуса 2R, несущий равномерно распределенный заряд с объемной плотностью ρ. Из него сделан сферический вырез радиусом R.
1. Найдем напряженность поля в точке O (центр шара).
Так как вся система симметрична относительно центра шара, мы можем использовать теорему Гаусса для нахождения напряженности поля. Для этого мы выберем сферу радиуса r < R в качестве замкнутой поверхности. Тогда поток вектора напряженности электрического поля через эту поверхность будет равен:
∮_S 𝐄· d𝐒 = E · 4π r^2
где E - напряженность поля.
Заряд внутри этой поверхности будет равен объемному заряду внутри сферы радиуса r:
Q_внутри = 4/3π r^3 ρ
Теперь мы можем применить теорему Остроградского-Гаусса:
E · 4π r^2 = Q_внутри/ε_0
E · 4π r^2 = 4/3π r^3 ρ/ε_0
E = ρ r/3ε_0
Теперь подставим r = R (радиус выреза) и получим значение напряженности поля в точке O:
E_O = ρ R/3ε_0
2. Найдем напряженность поля в точке A (на поверхности шара).
Так как точка A находится на поверхности шара, то напряженность поля в этой точке будет равна напряженности поля на поверхности шара, которую мы можем найти по формуле для напряженности поля на поверхности проводника:
E_A = ρ R/ε_0
3. Найдем напряженность поля в точке O_1 (внутри шара).
Так как точка O_1 находится внутри шара, то напряженность поля в этой точке будет зависеть от распределения заряда внутри шара. Мы можем использовать теорему Гаусса, выбрав замкнутую поверхность сферы радиуса r < R (аналогично случаю точки O) и произведя аналогичные выкладки.
Таким образом, мы нашли напряженность поля в точках O, A и O_1 с использованием теоремы Остроградского-Гаусса.