ПОМОГИТЕ ПЖ ЗАДАЧА ПО МАТЕМАТИКЕ СТЕРЕОМЕТРИЯ
на сферу 5 раз произвольно "надевают" полусферы того же радиуса, причем так, что внутренняя сфера в итоге полностью покрыта пятью полусферами
доказать, что всегда можно убрать одну из пяти этих полусфер так, что внутренняя сфера все равно останется полностью покрыта полусферами
В первом случае одна из полусферы "заходит" на другую, то есть имеем "избыток" поверхности полусфер. Во втором случае, сфера полность покрыта без недостатка.
Давайте обозначим внутреннюю сферу радиуса $r$ как $S$, и пятерку наружных полусфер как $H_1, H_2, H_3, H_4, H_5$.
Предположим, что после пяти операций "надевания" полусфер все еще нет такой полусферы, которую можно удалить, чтобы внутренняя сфера $S$ была бы полностью покрыта оставшимися полусферами.
Рассмотрим $H_1$: после удаления этой полусферы внутренняя сфера $S$ все еще должна быть полностью покрыта оставшимися полусферами $H_2, H_3, H_4, H_5$. Чтобы внутренняя сфера $S$ осталась покрытой после удаления $H_1$, все оставшиеся полусферы должны пересекаться или касаться на поверхности $S$.
Так как радиус внутренней сферы $S$ равен радиусу полусфер $H_i$, то оставшиеся полусферы $H_2, H_3, H_4, H_5$ не смогут покрыть $S$ после удаления $H_1$, так как их поверхности не будут пересекаться или касаться поверхности $S$. Противоречие.
Следовательно, всегда найдется такая полусфера, которую можно удалить, чтобы внутренняя сфера $S$ оставалась полностью покрытой полусферами.
Ответ удалён