Угловой коэффициент косательной

Для нахождения уравнения касательной к кривой \( y = 2x + \cot{x} \) в точке \( x_0 = \frac{\pi}{2} \), нужно найти производную функции \( y \) и подставить \( x = \frac{\pi}{2} \).

1. Найдем производную функции \( y \):
\[ y = 2x + \cot{x} \]
\[ y' = 2 - \csc^2{x} \]

2. Теперь найдем значение производной в точке \( x = \frac{\pi}{2} \):
\[ y'(\frac{\pi}{2}) = 2 - \csc^2{(\frac{\pi}{2})} = 2 - 1 = 1 \]

Таким образом, уравнение касательной к кривой \( y = 2x + \cot{x} \) в точке \( x = \frac{\pi}{2} \) имеет вид:
\[ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \]
\[ y - (2 \cdot \frac{\pi}{2} + \cot{\frac{\pi}{2}}) = 1 \cdot (x - \frac{\pi}{2}) \]
\[ y - \pi - 0 = x - \frac{\pi}{2} \]
\[ y = x + \frac{\pi}{2} \]

Таким образом, уравнение касательной к кривой \( y = 2x + \cot{x} \) в точке \( x = \frac{\pi}{2} \) равно \( y = x + \frac{\pi}{2} \).