Найдите первообразную F(x)

Для нахождения первообразной F(x) для функции f(x) = 2 + sin(4x), мы интегрируем данную функцию. Используем свойства интегралов и замечание, что интеграл от синуса равен минус косинусу:


∫ (2 + sin(4x)) dx = ∫ 2 dx + ∫sin(4x) dx = 2x - 1/4cos(4x) + C


Где C - произвольная постоянная.

Теперь, мы можем использовать начальное условие F((π)/4) = -3π для нахождения конкретного значения постоянной C:


F((π)/4) = [2((π)/4) - 1/4cos((π)/4)] + C = -3π


(π)/2 - 1/4(√2)/2 + C = -3π


(π)/2 - (√2)/8 + C = -3π


C = -3π + 3π - (√2)/8 = (24π - 8π - √2)/8 = (16π - √2)/8 = 2π - (√2)/8


Теперь, мы можем найти значение F((7π)/4) подставив полученное значение постоянной C в нашу первообразную:


F((7π)/4) = 2((7π)/4) - 1/4cos((7π)/4) + C


= (7π)/2 + 1/4(√2)/2 + 2π - (√2)/8


= (14π + 2π)/4 + (√2)/8 - (√2)/8


= (16π)/4 = 4π


Таким образом, F((7π)/4) = 4π.