Помогите пожалуйста с заданием по математике. Заранее спасибо
показать что функция f x первообразная функция f x на всей числовой прямой f(x)=2e^x/2-1/2cos2x,f(x)=e^x/2+sin2x
Условие F’(x) = f(x) ?
F’(x) = 2*(1/2)*e^(x/2) -(1/2)*2*(-sin2x) = e^(x/2) + sin2x
выполняется
F(x) первообразная для f(x)
Чтобы доказать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), необходимо проверить, выполняется ли следующее условие:
F’(x) = f(x).
В данном случае, f(x) = 2e^x/2 - 1/2 cos 2x, а F(x) = e^x/2 + sin 2x. Найдем производную функции F(x):
F’(x) = (e^x/2 + sin 2x)’ = (e^x/2)’ + (sin 2x)’
= 1/2 e^x/2 (x)’ + 2cos 2x = 1/2 e^x/2 + 2 cos 2x
Сравним полученную функцию с исходной функцией f(x):
f(x) = 2e^x/2 - 1/2 cos 2x F’(x) = 1/2 e^x/2 + 2 cos 2x
Чтобы доказать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), необходимо проверить, выполняется ли следующее условие:
F’(x) = f(x).
В данном случае, f(x) = 2e^x/2 - 1/2 cos 2x, а F(x) = e^x/2 + sin 2x. Найдем производную функции F(x):
F’(x) = (e^x/2 + sin 2x)’ = (e^x/2)’ + (sin 2x)’
= 1/2 e^x/2 (x)’ + 2cos 2x = 1/2 e^x/2 + 2 cos 2x
Сравним полученную функцию с исходной функцией f(x):
f(x) = 2e^x/2 - 1/2 cos 2x F’(x) = 1/2 e^x/2 + 2 cos 2x
Мы видим, что F’(x) не всегда равна f(x), так как коэффициенты перед e^x/2 и cos 2x не совпадают. Таким образом, функция F(x) не является первообразной для f(x) на всей числовой прямой.
Полученная производная F’(x) совпадает с функцией f(x), следовательно, F(x) является первообразной для f(x) на всей числовой прямой.