Исследование функции и построение ее графика

1) D(y) = (-∞;1)∪(1;+∞)
2) Функция y(x) ни чётная, ни нечётная, апериодическая общего вида
3) График функции у(х) пересекается и с осью абсцисс, и с осью координат в точке (0;0), то есть в начале координат
4) у(х) непрерывна всюду кроме точки х=1, где у этой функции не существует значения, а существует лишь предел, равный +∞:
lim(x→1±0)y(x) = +∞
x=1 - точка разрыва второго рода
Поведение функции в бесконечности:
lim(x→±∞)y(x) = 1,5
Кроме того что непрерывная функция у(х) ещё и абсолютно гладкая во всей своей области определения
5) У функции у(х) есть две асимптоты: вертикальная х=1 и горизонтальная у=1,5; наклонных асимптот нет
6) у' = (1,5·(x/(x-1))²)' =
1,5·2·x/(x-1)·(x/(x-1))' = -3x/(x-1)³
У функции у(х) есть одна стационарная точка, подозрительная на экстремум: х=0
Знаки производной:
__–__(0)__+__(1)__–__
По знакам производной определяем промежутки монотонности:
(-∞;0] - промежуток убывания
[0;1) - промежуток возрастания
(1;+∞) - промежуток убывания
В стационарной точке х=0, одновременно принадлежащей двум смежных промежуткам монотонности, убывание сменяется на возрастание, следовательно это точка минимума, причём глобального.
Значение функции в точке глобального минимума: y(0)=0
Экстремальная точка единственная
Область значений функции E(y) = [0;+∞)
7) у'' = -3·(x/(x-1)³)' =
-3·((x-1)³-3x·(x-1)²)/(x-1)⁶ =
-3·(x-1-3x)/(x-1)⁴ = 3·(2x+1)/(x-1)⁴
У второй производной есть один нуль, подозрительный на точку перегиба: х=-0,5
Знаки второй производной:
__–__(-0,5)__+__(1)__+__
По знакам второй производной определяем промежутки выпуклости и вогнутости:
(-∞;-0,5] - промежуток вогнутости
[-0,5;1) - промежуток выпуклости
(1;+∞) - промежуток выпуклости
В точке х=-0,5 происходит смена вогнутости на выпуклость, следовательно это точка перегиба
Значения функции и её производной в точке перегиба:
y(-0,5) = ⅙, y'(-0,5) = -4/9
8) График: