Биссектрисы внешних углов египетского треугольника пересекают

Question

Биссектрисы внешних углов египетского треугольника пересекают

Веселый помидор! Мыслитель (6278), закрыт 1 месяц назад

Биссектрисы внешних углов
египетского треугольника пересекают продолжения его сторон в трёх точках. Докажите, что одна из них является серединой отрезка, соединяющего
две другие.

Answer 1

hippie Просветленный (29335) 1 месяц назад

Введём прямоугольную систему координат, в которой вершины треугольника имеют координаты: A = (0, 0), B = (4, 0) и C = (0, 3).
Тогда
точка пересечения биссектрисы внешнего угла A с прямой BC имеет координаты (-12, 12);
точка пересечения биссектрисы внешнего угла B с прямой AC имеет координаты (0, -12);
точка пересечения биссектрисы внешнего угла C с прямой AB имеет координаты (-6, 0).

Т.к. 2*(-6, 0) = (-12, 12) + (0, -12), то точка (-6, 0) является серединой отрезка [(-12, 12), (0, -12)].

PS Для прямоугольного (а скорее всего вообще для любого разностороннего) треугольника выполнено значительно более общее соотношение, которое допишу позже в коменте.

hippieПросветленный (29335) 1 месяц назад

Обещанный комент. Хотел сделать чертёж, но без подходящих инструментов не смог.

Пусть прямоугольный треугольник ABC такой, что AC < AB < BC;
P точка пересечения прямой AC с биссектрисой внешнего угла B;
Q точка пересечения прямой AB с биссектрисой внешнего угла C;
R точка пересечения прямой BC с биссектрисой внешнего угла C.
Тогда, вводя координаты так же, как я писал выше, можно показать, что точка Q делит отрезок PR в отношении (AB - AC) к (BC - AB).

Предполагаю, что это верно не только для прямоугольного, но и вообще для любого разностороннего треугольника. Но доказать в общем виде пока не пытался.
(Продолжение ниже)

hippie Просветленный (29335) hippie, (Продолжение.) PS учитывая, что точки P, Q и R лежат на одной прямой (это проверяется по теореме Менелая) это утверждение можно записать в виде равенства отношения длин отрезков: PQ : QR : PR = |AB - AC| : |BC - AB| : |BC - AC|. В таком виде это условие не зависит от того, в каком порядке упорядочены стороны треугольника. (При этом в случае равнобедренного треугольника: в правой части одна из разностей равна нулю; а в левой части два остальных отрезка бесконечны, т.к. их концом является точка пересечения параллельных прямых.)

Веселый помидор!Мыслитель (6278) 1 месяц назад

к тому же вы доказали для частного случая египтеского треугольника, а надо для всех, но тут уже очевидно как

Веселый помидор!Мыслитель (6278) 1 месяц назад

как все же решается задачка про игру в треугольник?)

Answer 2

Для доказательства этого утверждения нам нужно обратиться к свойствам биссектрис и внешних углов треугольника, а также вспомнить, что такое египетский треугольник. Египетский треугольник – это прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами, размеры которых соотносятся как 3:4:5. Хотя рассуждения будут применимы к любому прямоугольному треугольнику.

Допустим, у нас есть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Биссектрисы внешних углов этого треугольника пересекают продолжения его сторон. Биссектриса внешнего угла при вершине A пересекает продолжение стороны BC в точке X, биссектриса внешнего угла при вершине B пересекает продолжение стороны AC в точке Y, а биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает продолжение стороны AB в точке Z.

Следует понимать, что внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных с ним внутренних углов. Когда мы проводим биссектрису внешнего угла, она делит этот внешний угол пополам, а значит, создает равные углы с двумя несмежными внутренними углами треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180 градусам, а значит, два оставшихся угла, кроме прямого, в сумме дают 90 градусов. Из этого следует, что биссектриса внешнего угла прямого угла (C), который равен 90 градусов, будет параллельна прилежащей стороне (поскольку внешний угол будет равен 180-90=90 градусов, и его биссектриса разделит его на две части по 45 градусов, что соответствует углам при основании прямоугольного треугольника).

Таким образом, продолжения сторон AB и AC фактически формируют линии, параллельные какой-то из сторон треугольника, именно из-за этого свойства биссектрис внешних углов. По теореме Фалеса, если две параллельные линии пересечены секущими, то отрезки, отсекаемые на секущей, пропорциональны. По этой причине точка, которая образуется на пересечении продолжения биссектрисы внешнего угла при вершине C с продолжениями сторон треугольника, разделяет отрезок между двумя другими точками пересечения пополам.

В итоге, одна из точек, где биссектриса внешнего угла прямоугольного треугольника пересекает продолжение сторон, будет серединой отрезка, соединяющего две другие точки. Этот результат следует из свойств биссектрис и геометрических соотношений в прямоугольном треугольнике, и он не зависит от конкретных длин сторон, то есть будет верным не только для египетского, но для любого прямоугольного треугольника.