Доказать, что хотя бы одно из чисел чётное

Доказательство:
Пусть числа, написанные на доске, будут обозначаться как a₁, a₂, ..., aₙ. Тогда, согласно заданию, сумма квадратов этих чисел равна квадрату суммы чисел:
(a₁² + a₂² + ... + aₙ²) = (a₁ + a₂ + ... + aₙ)²
Раскрыв квадрат на правой стороне, получим:
a₁² + a₂² + ... + aₙ² = (a₁ + a₂ + ... + aₙ)(a₁ + a₂ + ... + aₙ)
Отметим, что каждое из чисел a₁, a₂, ..., aₙ может быть только 0 или 1, поскольку оно может быть включено или исключено из суммы на левой стороне. Также отметим, что сумма этих чисел на левой стороне равна сумме их квадратов, поэтому сумма этих чисел на правой стороне также равна сумме их квадратов.
Таким образом, мы можем записать:
a₁² + a₂² + ... + aₙ² = (a₁ + a₂ + ... + aₙ)(a₁ + a₂ + ... + aₙ)
Из этого равенства видно, что каждое из чисел a₁, a₂, ..., aₙ должно быть либо 0, либо 1, иначе сумма квадратов на левой стороне не будет равна сумме квадратов на правой стороне.
Теперь, если хотя бы одно из чисел a₁, a₂, ..., aₙ будет равно 1, то это число будет четным, поскольку сумма его квадратов будет равна сумме его квадратов, и сумма квадратов четного числа всегда равна сумме его квадратов.
В итоге, мы доказали, что хотя бы одно из чисел, написанных на доске, должно быть четным.