Голосование за лучший ответ
qq
Мастер
(1077)
7 месяцев назад
Добрый вечер! Давайте разберем решение данного тригонометрического уравнения:
\[ \cos\left(\frac{\pi(4x + 5)}{3}\right) = \frac{1}{2} \]
Мы знаем, что \( \cos \theta = \frac{1}{2} \) при \( \theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) и \( \theta = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \), где \( k \) — целое число.
### Шаг 1: Решение уравнения
Рассмотрим оба случая:
1. \( \frac{\pi(4x + 5)}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \)
2. \( \frac{\pi(4x + 5)}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \)
#### Случай 1:
\[
\frac{\pi(4x + 5)}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
Умножим обе части на 3/\pi, чтобы избавиться от \(\pi\):
\[
4x + 5 = 1 + 6k
\]
Переносим 5 в правую часть:
\[
4x = 6k - 4
\]
Делим обе части на 4:
\[
x = \frac{3k - 2}{2}
\]
#### Случай 2:
\[
\frac{\pi(4x + 5)}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
Умножим обе части на 3/\pi, чтобы избавиться от \(\pi\):
\[
4x + 5 = -1 + 6k
\]
Переносим 5 в правую часть:
\[
4x = 6k - 6
\]
Делим обе части на 4:
\[
x = \frac{3k - 3}{2}
\]
### Итог:
Корни уравнения:
\[
x = \frac{3k - 2}{2} \quad \text{и} \quad x = \frac{3k - 3}{2}
\]
где \( k \) — целое число.
Эти выражения описывают все решения данного тригонометрического уравнения. Если нужно конкретное решение, можно подставить значения \( k \), например \( k = 0, 1, -1 \) и так далее, чтобы получить конкретные значения \( x \).