Математический анализ. Дифференциальные уравнения

Решение задачи 2
2. Найти общее решение дифференциального уравнения
y'' + 2y' + 100y = 0
Решение:
1. Характеристическое уравнение:
r^2 + 2r + 100 = 0 (r + 10)^2 = 0
2. Корни характеристического уравнения:
r1 = r2 = -10
3. Общее решение:
y(x) = C1 * exp(-10x) + C2 * exp(-10x)
где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Проверка:
Подставим общее решение в исходное уравнение:
y''(x) + 2y'(x) + 100y(x) = 0 (C1 * exp(-10x) * (-100) + C2 * exp(-10x) * (-100)) + 2(C1 * exp(-10x) * (-10) + C2 * exp(-10x) * (-10)) + 100(C1 * exp(-10x) + C2 * exp(-10x)) = 0 (-100C1 * exp(-10x) - 100C2 * exp(-10x)) + (-20C1 * exp(-10x) - 20C2 * exp(-10x)) + 100C1 * exp(-10x) + 100C2 * exp(-10x) = 0 0 = 0
Таким образом, общее решение y(x) = C1 * exp(-10x) + C2 * exp(-10x) является решением исходного уравнения.
Решение задачи 3
3. Найти общее решение дифференциального уравнения
y'' - 2y' + 100y = 0
Решение:
1. Характеристическое уравнение:
r^2 - 2r + 100 = 0 (r - 10)^2 = 0
2. Корни характеристического уравнения:
r1 = r2 = 10
3. Общее решение:
y(x) = C1 * exp(10x) + C2 * exp(10x)
где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Проверка:
Подставим общее решение в исходное уравнение:
y''(x) - 2y'(x) + 100y(x) = 0 (C1 * exp(10x) * 100 + C2 * exp(10x) * 100) - 2(C1 * exp(10x) * 10 + C2 * exp(10x) * 10) + 100(C1 * exp(10x) + C2 * exp(10x)) = 0 (100C1 * exp(10x) + 100C2 * exp(10x)) - (20C1 * exp(10x) + 20C2 * exp(10x)) + 100C1 * exp(10x) + 100C2 * exp(10x) = 0 0 = 0
Таким образом, общее решение y(x) = C1 * exp(10x) + C2 * exp(10x) является решением исходного уравнения.
Ответ
2. y(x) = C1 * exp(-10x) + C2 * exp(-10x)
3. y(x) = C1 * exp(10x) + C2 * exp(10x)
где C1 и C2 - произвольные постоянные.