Кто гений математики?
Известно что a^2 + b^2 делится на ab + 1. Докажите, что при таком делении получается полный квадрат целого числа.
Подобная задача решена на сайте:
elementry.ru в статье Константина Кнопа "Прыжки Виета".
Через отражение корней решается
Пусть a и b - целые числа, такие что a^2 + b^2 делится на ab + 1. Тогда по определению деления получаем, что существует целое число k, такое что a^2 + b^2 = k(ab + 1).
Разложим левую часть по формуле квадрата суммы: a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab.
Подставим это разложение в выражение a^2 + b^2 = k(ab + 1): (a + b)^2 - 2ab = k(ab + 1).
Раскроем скобки в левой части: a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = k(ab + 1), откуда получаем: a^2 + b^2 = k(ab + 1).
Таким образом, (a + b)^2 = k(ab + 1). Поскольку (a + b)^2 - k(ab + 1) = 0, то (a + b)^2 является полным квадратом.
Теорема. Если что-то нужно доказать, значит это уже доказано.
Тяжело