Почему так: хочешь работать в какой-либо организации - тебя оттуда всячески выживают, хочешь откуда-то уволиться - не

Хочешь да не можешь)
Есть выражение - пришелся не ко двору
Так вот это ответ на первую часть вопроса
На второю все гораздо проще
Чтобы уволиться, не нужно заставлять работодателя подписывать заявление или получать его согласие — достаточно письменно уведомить его о своем решении

В ст. 80 ТК РФ чётко указано: Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен Трудовым кодексом или иным федеральным законом