Необходимо найти производную n-го порядка.

Функция \( y = e^{3x} \cdot \sin(4x) \) - это произведение экспоненциальной функции \( e^{3x} \) и синусоидальной функции \( \sin(4x) \). Чтобы найти её производную, мы можем использовать правило производной произведения.

\[ y' = (e^{3x})' \cdot \sin(4x) + e^{3x} \cdot (\sin(4x))' \]

Для вычисления производных:

1. \( (e^{3x})' = 3e^{3x} \) (производная экспоненты)
2. \( (\sin(4x))' = 4\cos(4x) \) (производная синуса)

Подставляем эти значения обратно в формулу:

\[ y' = 3e^{3x} \cdot \sin(4x) + e^{3x} \cdot 4\cos(4x) \]

Таким образом, производная функции \( y = e^{3x} \cdot \sin(4x) \) равна:

\[ y' = 3e^{3x} \cdot \sin(4x) + 4e^{3x} \cdot \cos(4x) \]

Вот, вникай:
https://yandex.ru/search/touch/?text=производная+n+порядка&lr=114678

То, что приведено в качестве решения - это не решение, а черт знает что!! Формула Лейбница в помощь.
Ответ: e^(3x)*4^n*∑{C(k;n)*(3/4)^k*sin(4x + п(n - k)/2)
Пояснения: 1) суммирование идет от k=0 до n; 2) С(k;n) = n!/(k!(n-k)!) - биномиальный коэффициент

y=exp(3x)*sin(4x)=exp(3x)*Im(exp(i4x))=Im(exp(3x)*exp(i4x))=Im(exp(x(3+i4))
Тогда производная n-го порядка функции y равна:
Im((3+i4)^n*exp(x(3+i4))=
exp(3x)*Im((3+i4)^n*exp(i4x)).

Вот так лучше: