Найдите промежутки убывания функции y = x³ - 6x² + 5

Простейшая тема 11-го класса. Вместо уроков под столом у одноклассников сидела - не наши проблемы.

1). Найдем производную функции \(y = x^3 - 6x^2 + 5\):
\[y' = 3x^2 - 12x\]
2). Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:
\[3x^2 - 12x = 0\]
\[3x(x - 4) = 0\]
Отсюда получаем две точки: \(x = 0\) и \(x = 4\).
3). Проверим знак производной на интервалах между и за пределами найденных точек:
- Для \(x < 0\): возьмем \(x = -1\), подставим в производную \(y'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 > 0\), значит, функция возрастает на интервале \((-\infty, 0)\).
- Для \(0 < x < 4\): возьмем \(x = 1\), подставим в производную \(y'(1) = 3(1)^2 - 12(1) = 3 - 12 = -9 < 0\), значит, функция убывает на интервале \((0, 4)\).
- Для \(x > 4\): возьмем \(x = 5\), подставим в производную \(y'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15 >0\), значит, функция возрастает на интервале \((4, +\infty)\).
Таким образом, промежутки убывания функции \(y = x^3 - 6x^2 + 5\) находятся на интервале \((0, 4)\).