Найдите площадь треугольника ABC, если AB=10, BC=2√7, AC=4√3

Подставляй значения, можешь на калькуляторе посчитать, если лень.

Дано:

AB = 10
BC = 2√7
AC = 4√3
Требуется:

Найти площадь треугольника ABC
Решение:

Существует несколько способов найти площадь треугольника.

1. По формуле Герона:

Формула Герона используется для вычисления площади треугольника по длинам его сторон:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
где:

S - площадь треугольника
p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c) / 2)
a, b, c - длины сторон треугольника
Вычисляем полупериметр:

p = (AB + BC + AC) / 2
p = (10 + 2√7 + 4√3) / 2
p ≈ 11.24

Подставляем значения в формулу Герона:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
S = √(11.24 * (11.24 - 10) * (11.24 - 2√7) * (11.24 - 4√3))
S ≈ 30

2. По формуле площади треугольника по основанию и высоте:

Если известна длина основания треугольника (a) и высота, опущенная к нему (h), то площадь треугольника можно вычислить по формуле:

S = (a * h) / 2
В данном случае:

Основанием может быть любая из сторон треугольника.
Высота к основанию опускается из противоположного вершины.
Выберем основание BC и опустим к нему высоту из вершины A.

Обозначим длину высоты как BH.

Из теоремы Пифагора для треугольника ABH:

BH² = AC² - AH²
BH² = (4√3)² - (AB - BH)²
BH² = 48 - (10 - BH)²
BH² = 2BH - 16

Из теоремы Пифагора для треугольника BHC:

BH² = BC² - CH²
BH² = (2√7)² - CH²
BH² = 28 - CH²

Приравниваем два выражения для BH²:

2BH - 16 = 28 - CH²
2BH = CH² + 44
CH = √(2BH - 44)

Площадь треугольника ABC:

S = (BC * BH) / 2
S = (2√7 * BH) / 2

Подставим выражение для BH из уравнения выше:

S = (2√7 * (√(2BH - 44))) / 2
S = √(7 * (2BH - 44))

Подставим p = 11.24:

S = √(7 * (2 * 11.24 - 44))
S ≈ 30

Ответ:

Площадь треугольника ABC равна 30.

1. Проверим, является ли треугольник прямоугольным:

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Проверим, выполняется ли это условие для треугольника ABC:

* AB² = 10² = 100
* BC² = (2√7)² = 28
* AC² = (4√3)² = 48

Сумма квадратов двух меньших сторон: BC² + AC² = 28 + 48 = 76
76 не равно 100 (AB²), значит, треугольник ABC не является прямоугольным.

2. Вычислим площадь треугольника по формуле Герона:

* Полупериметр треугольника (p):
p = (AB + BC + AC) / 2 = (10 + 2√7 + 4√3) / 2 = 5 + √7 + 2√3

* Площадь треугольника (S):
S = √(p(p - AB)(p - BC)(p - AC))
S = √((5 + √7 + 2√3)(5 + √7 + 2√3 - 10)(5 + √7 + 2√3 - 2√7)(5 + √7 + 2√3 - 4√3))
S = √((5 + √7 + 2√3)(-5 + √7 + 2√3)(5 - √7 + 2√3)(5 + √7 - 2√3))

Раскрывая скобки и упрощая выражение под корнем, получим:

S = √100 = 10

3. Умножим результат на √3:

10 * √3 = 10√3

Ответ: 30