Моё полное имя Эльмира, но некоторые родственники называют меня Мика. Вопрос, каким образом Мика связано с Эльмирой?

Прозвище "Мика" может быть образовано от имени "Эльмира" как форма ласкового уменьшительного обращения. В русском языке и в культуре создания прозвищ часто используются уменьшительно-ласкательные формы имён, которые могут звучать совершенно иначе, чем оригинальные имена.

Например, имя "Александр" может трансформироваться в "Саша", "Екатерина" в "Катя" или "Елена" в "Лена". Таким образом, "Мика" может быть вариантом, который родственники выбрали из-за личных предпочтений или потому, что это звучит более нежно и интимно по отношению к вам. Это довольно распространённая практика в русскоязычных семьях и не всегда логически связана с исходным именем, а скорее основана на эмоциональной и звуковой ассоциации.

Называют как удобнее не факт что похоже. Имхо более подходящее сокращение Мира или Эля

так спросите это у родственников

Как вариант, вы сами себя так называли, когда были совсем маленькой и не всё выговаривали. Второй вариант - кто-то из родственников-малышей называл.

Моего брата Сергея называют Лёка.
Потому что он в детстве так выговаривал своё имя Серёга.
У вас похожая ситуация.

А какая разница, как оно связано? Может и никак не связано особо. Просто стали когда-то так называть, всем понравилось, и привыкли.

У меня есть "второе имя". И многие думают, что оно образовано от имени "Татьяна". А оно с "Татьяной"... нигде "рядом не лежало"! И даже не "сидело", и не "висело" никогда! И даже по значению с именем "Таня" оно никаким образом не связано. Но созвучно просто, и всё. Меня прадед так назвал. На русском языке оно означает "Подарок". Где "Татьяна", и где "Подарок"?
Если я начну по этому поводу эмоционировать, и всем что-то объяснять-доказывать, то это моей всей жизни не хватит! А есть, как бы, дела и поинтересней!

Они просто картавые, букву Р в имени МиРка не выговаривают)))
Я родилась, когда братья двоюродные хотели младшего братишку. В результате меня звали Алёнкой, Алёшкой, а во время спортивных уличных игр порой кричали: Лёха, держи мяч!))))