Решите задачу про подземный ход, пожалуйста, все выбраться не могу..(
Старинный подземный ход имеет свод параболической формы (то есть в поперечном
сечении туннель ограничен полом — осью Ox и графиком некоторой параболы y = a − bx 2 ).
Ширина туннеля (измеряется по полу) равна 24, высота туннеля равна 18. Ход укрепили рас-
порками — на параболе отметили точки A, B, C, D и соединили их между собой балками. Балки
AB и CD параллельны полу, AD пересекается с BC, и при этом ∠ACB = ∠ADB = 90 ◦ Найдите
расстояние между балками AB и CD.
Определим коэффициенты формулы параболы y = a − b*x^2 .
Так как высота тоннеля над осью х = 18, то а = 18.
Так как точка В (12; 0) принадлежит параболе, подставим ее координаты:
0 = 18 - b*12^2
b = 18/12^2 = 1/8
Итак, формула параболы у = 18 - x^2/8
Нам известны координаты точек: В (12; 0), А (-12; 0)
Обозначим координаты точки Д (хД; уД).
Вычислим расстояния ВД и АД:
ВД = √((12-хД)^2 + (0-уД)^2))
АД = √((-12-хД)^2 + (0-уД)^2))
Тр-к АДВ - прямоугольный (по условию), по теореме Пифагора:
АВ^2 = ВД^2 + АД^2 =
((12-хД)^2 + (0-уД)^2)) + ((-12-хД)^2 + (0-уД)^2)) = (12+12)^2
Возводим в степень, раскрываем скобки, приводим подобные члены.... и получаем:
уД^2 + хД^2-144 = 0
Заменяем уД = 18 - хД^2/8 (формула параболы):
(18 - хД^2/8)^2 + хД - 144 = 0
Опять преобразуем выражение - и получаем:
хД^4 - 224*хД^2 + 11520 = 0
Проводим замену: хД^2 = р, получаем:
р^2 - 224*р + 11520 = 0
Корни этого уравнения р1 = 80, р2 = 144
При р1 = 80:
хД^2 = 80, подставляем в уД = 18 - хД^2/8:
уД = 18 - 80/8 = 8
Таким образом расстояние между АВ (у = 0) и СД (у = 8) равно 8.
(При р2 = 144 точка Д вырождается в точку В с координатами (12; 0))
*******************
Возможно, есть решение при АВ, не совпадающей с осью Х. Нужно к уже имеющимся уравнениям добавить уравнения прямой АД (проходящей через точки А и Д), прямой ДВ (проходящей через точки Д и В), а также зависимость в коэффициентах этих прямых: kАД = - 1/kДВ, как перпендикулярных друг другу. И тогда, возможно, получится более общее решение.
