Найти наименьшее значение функции ЕГЭ
Найдите наименьшее значение функции y=e^2x-5^ex-2 на отрезке [-2;1]
y’(x)=2e^(2x)-5e^x (=0)
2e^x*(e^x-2.5)=0
e^x=0 не имеет решения
e^x-2.5=0
e^x=2.5 --> -2<x<1
x=ln2.5 <-- точка минимума.
y(ln2.5) = e^(2*ln2.5) - 5*e^(ln2.5) - 2 = 6.25-12.5-2 = -8.25
f(x) = e^2x - 5e^x - 2
Замена e^x = t => f(t) = t^2 - 5t - 2 = 0 - квадратное уравнение
Известно, что вершина параболы выводится из квадратного уравнения = -b/2a
подставляем -b/2a в ax^2 + bx + c = 0 и получаем значение x = -D/4a = (4ac-b^2)/4a
min = (-D/4a) = (4*(-2) - 25)/4 = (-8-25)/4 = -8.25
найди производную и реши уравнение вида f`x)=0
это будут точки максимума и минимума (еще их называют экстремум)
далее нужно найти точку где производная была сначала больше нуля а потом меньше (в этот промежуток изначальная функция возрастала а потом убывала) это и будет точка максимума изначально функции
точка минимума будет наоборот в месте где производная сначала была меньше нуля а потом больше
решается простым неравенством
/
🔍 y = e^(2x) - 5e^x - 2, [-2, 1]
1️⃣ 🔚:
• x = -2: y(-2) = e^(-4) - 5e^(-2) - 2
• x = 1: y(1) = e^2 - 5e - 2
2️⃣ 🔍:
• y' = 2e^(2x) - 5e^x
• 2e^(2x) - 5e^x = 0
• e^x(2e^x - 5) = 0
• e^x = 5/2
• x = ln(5/2)
3️⃣ ✅: ln(5/2) ≈ 0.916 ∈ [-2, 1]
4️⃣ 📊:
y(ln(5/2)) = (5/2)^2 - 5(5/2) - 2
= 25/4 - 25/2 - 2
= (25 - 50 - 8)/4
= -33/4
5️⃣ 🔄:
• y(-2) > 0
• y(1) > 0
• y(ln(5/2)) = -33/4
🏆 min = -33/4 @ x = ln(5/2)