Можно ли просить у арендодателя квартиры удостоверение личности для достоверности?

Можно

Обязательно. И документы на право собственности, вдруг он сдает не свое.

нет. только мусора могут....

До того как. И составляйте договор аренды,

А теперь,что просить
надо было при найме смотреть - документы на собственность,
паспорт. договор заключать и читать его внимательно.

Не можно а нужно. Свидетельство на право собственности так же обязательно. Запросите ещё квитанции об оплаченных коммунальных услугах, важно чтобы не было долгов на площади. ФИО и паспортные данные обеих сторон, так же тех кто будет ещё с вами проживать в квартире.
Всегда перед съёмом квартиры запрашивайте договор аренды. Самые важные моменты в договоре на которые нужно акцентировать внимание: должны быть указаны сроки аренды, параметры квартиры (площадь, сколько комнат), стоимость аренды квартиры.
При въезде в квартиру сделайте подробный фотоотчёт и видео до вашего заселения вместе с собственником. Это позволит Вам оценить ущерб квартиры на момент въезда. Про часть залога так же в договоре должно быть указано.

Не только можно
а обязательно..

Обо всём надо договариваться и узнавать до того ,как сняли жилье . Собирайте вещи и съезжайте . Ничего он вам не вернет .

нужно было, теперь поздно уже метаться.