Почему английское слово slide имеет в корне "i", а родственно (согласно Фасмеру) русскому слову след (имеющему "е")?

Потому что за Слайдами можно Следить

Я предположу, что, скорее всего, дело не в современном чередовании гласных, а в древнерусских дифтонгах, которые остались в английском, но исчезли из русского языка.
Что-то вроде "слиед" было исходным общим словом.

а где связь между следом и скольжением

Я думаю это как обычно связано с произношением, так как английское слово slide заявляется как потомок слов slidan, sled и sledge. Просто у нас же согласные ещё более менее похожи в большинстве языках, а гласные коверкаются как кому вздумается. Вы слышали когда-нибудь как носители английского пытаются произнести наше слово "дом"? :) У них "о" звучит приблизительно между нашими "о" и "а", потому это можно услышать даже как "дам" иногда. Наши "и" и "ы" они освоить не могут, потому что они оба звука слышат как "и", хотя на самом деле их "i" звучит скорее как наше "ы", а на "и" больше похоже их длинное "ee" или "ea", как например в "leave". Мы с их "а" и "е" мучаемся, и со всем тем спектром звуков, которые лежат между этими двумя.

Потому пытаясь сопоставлять написание однокоренных слов из разных языков, Вы неизбежно будете натыкаться на подобное, когда в одном языке так, а в другом иначе. Или даже в одном по разному, как в том же английском со "sled" и "slide" :) Просто они на протяжении веков менялись, вот и получилось так :) Это не из-за чередования гласных явно, потому что в английском никакого чередования нет, а та же особенность наблюдается.

Изначальный корень - *ley-, *(s)ley-, от него уже - след, лепить, липкий, слизь итп. Поэтому в разных позициях могли усиливать звук -е, либо - и.