Хочу записаться к неврологу в другую больницу не по прописке и без направления, но я не знаю можно ли так сделать?

Зайди в электронную регистратуру, там и узнаешь. Не ко всем специалистам можно записаться, к некоторым - по направлению участкового.

Можно платно. Документы не нужны не какие кроме паспорта.

В другую поликлинику - только платно, ваш полис прикреплён к поликлинике по месту жительства.