Нужно свериться, был бы очень благодарен вам
1.Найти угол между плоскостями a и b, где a: 3х-у+2z+15=0,
b: 5x+9у-3z-1=0
2 Даны три точки: А(1; –1; 1), В(–2; 0; 3) и С(2; 1; –1). Составить уравнение плоскости
(АВС).
3 Найти угол между плоскостями:
x + y - z = 0 и 3x - 2у +1 = 0 .
4 Найти расстояние от точки М до плоскости:
М(1, 3, 5 ), P : 5х–2у+4=0 .
5 Написать каноническое уравнения прямой, проходящей через две точки:
М1 (3,2, –1), М2 (3, 1, 4).
необязательно расписывать целые решения, достаточно ответа, будет здорово если ответите хоть на какую-то часть
1. Угол между плоскостями a и b:
- Плоскости: a: 3x - y + 2z + 15 = 0 и b: 5x + 9y - 3z - 1 = 0.
- Нормальные векторы: n_a = (3, -1, 2), n_b = (5, 9, -3).
- Угол φ: cos(φ) = (n_a • n_b) / (|n_a| * |n_b|).
2. Уравнение плоскости (АВС):
- Точки: A(1, -1, 1), B(-2, 0, 3), C(2, 1, -1).
- Векторы: AB = (-3, 1, 2), AC = (1, 2, -2).
- Нормальный вектор: n = AB × AC.
- Уравнение: n1(x - x0) + n2(y - y0) + n3(z - z0) = 0.
3. Угол между плоскостями:
- Плоскости: x + y - z = 0 и 3x - 2y + 1 = 0.
- Нормальные векторы: (1, 1, -1) и (3, -2, 0).
- Угол φ: cos(φ) = (n1 • n2) / (|n1| * |n2|).
4. Расстояние от точки M до плоскости:
- Точка: M(1, 3, 5) и плоскость P: 5x - 2y + 4 = 0.
- Формула: d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²).
5. Каноническое уравнение прямой:
- Точки: M1(3, 2, -1), M2(3, 1, 4).
- Вектор направления: d = (0, -1, 5).
- Уравнение:
x = 3
y = 2 - t
z = -1 + 5t
(где t — параметр).
Угол между плоскостями a и b: Угол между плоскостями можно найти с помощью косинуса угла: \[ \cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \] Где
n
1
⃗
=
(
3
,
−
1
,
2
)
и
n
2
⃗
=
(
5
,
9
,
−
3
)
. \[ \cos \theta = \frac{|3 \cdot 5 + (-1) \cdot 9 + 2 \cdot (-3)|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{5^2 + 9^2 + (-3)^2}} = \frac{0}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{115}} = 0 \] Угол
θ
=
9
0
∘
.
Уравнение плоскости (АВС): Уравнение плоскости можно найти через определитель: \[ \left| \begin{matrix} x - 1 & y + 1 & z - 1 \\ -2 - 1 & 0 + 1 & 3 - 1 \\ 2 - 1 & 1 + 1 & -1 - 1 \end{matrix} \right| = 0 \] Решив определитель, получим уравнение плоскости: \[ 3x + y - 2z - 6 = 0 \]
Угол между плоскостями
x
+
y
−
z
=
0
и
3
x
−
2
y
+
1
=
0
: Угол
θ
можно найти через скалярное произведение: \[ \cos \theta = \frac{|1 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{13}} = \frac{1}{3\sqrt{13}} \]
Расстояние от точки
М
(
1
,
3
,
5
)
до плоскости
P
:
5
x
−
2
y
+
4
=
0
: Расстояние
d
можно найти по формуле: \[ d = \frac{|5 \cdot 1 - 2 \cdot 3 + 4|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2 + 0^2}} = \frac{3}{\sqrt{29}} \approx 0.56 \]
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки
M
1
(
3
,
2
,
−
1
)
и
M
2
(
3
,
1
,
4
)
: Каноническое уравнение имеет вид: \[ \frac{x - 3}{0} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z + 1}{5} \]
Если будут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать! 😊