Почему здесь используется первый замечательный предел, если x -> не к 0?

аргумент синуса стремится к нулю. Здесь переход на новую величину (аргумент синуса),
который (при стремлении икс к а) стремится к нулю.

То что под синусом, стремится к нулю, не x.

Потому что (x/2)-(a/2) стремится к нулю, в таком случае.