Найдите трёхзначное число...

Чтобы найти трёхзначное число, кратное 80, с различными цифрами, сумма квадратов цифр которого делится на 5, но не делится на 25, давайте следовать пошагово:

1. **Кратность 80:** Число должно заканчиваться на 80 или 00. Однако, так как мы ищем три разные цифры, возможны только окончания на 80, то есть число должно заканчиваться на 80.

2. **Форма числа:** Запишем число как \( \overline{abc} \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — его цифры. Для кратности 80, \( b = 8 \) и \( c = 0 \) (т.к. число должно закончиться на 80).

3. **Неравенство цифр:** Так как все цифры различны, \( a \) не может быть 0 или 8.

4. **Сумма квадратов:** Теперь найдём возможные значения для \( a \) (1-9, 0 уже используется):
- \( a = 1 \): \( 1^2 + 8^2 + 0^2 = 1 + 64 + 0 = 65 \) (делится на 5)
- \( a = 2 \): \( 2^2 + 8^2 + 0^2 = 4 + 64 + 0 = 68 \) (не делится на 5)
- \( a = 3 \): \( 3^2 + 8^2 + 0^2 = 9 + 64 + 0 = 73 \) (не делится на 5)
- \( a = 4 \): \( 4^2 + 8^2 + 0^2 = 16 + 64 + 0 = 80 \) (делится на 25)
- \( a = 5 \): \( 5^2 + 8^2 + 0^2 = 25 + 64 + 0 = 89 \) (не делится на 5)
- \( a = 6 \): \( 6^2 + 8^2 + 0^2 = 36 + 64 + 0 = 100 \) (делится на 25)
- \( a = 7 \): \( 7^2 + 8^2 + 0^2 = 49 + 64 + 0 = 113 \) (не делится на 5)
- \( a = 9 \): \( 9^2 + 8^2 + 0^2 = 81 + 64 + 0 = 145 \) (делится на 5, но также на 25, не подходит)

Таким образом, единственным подходящим значением для \( a \) является 1.

Теперь подставим его:

- \( a = 1 \), \( b = 8 \), \( c = 0 \)
- Получаем число: 180.

Это число:

- Кратное 80 - 180 делится на 80.
- Все цифры различны.
- Сумма квадратов \( 1^2 + 8^2 + 0^2 = 65 \) делится на 5, но не делится на 25.

Таким образом, одно из подходящих чисел — **180**.