На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки X и Y соответственно.

Дано квадрат ABCD со стороной s. Точки X и Y отмечены на сторонах BC и CD соответственно так, что AX = 2XY, ∠AXY = 90°, и AY = 20. Нам нужно найти длину стороны s квадрата.

## Размещение квадрата в координатной плоскости

Расположим квадрат в координатной плоскости следующим образом:
- A = (0, s)
- B = (s, s)
- C = (s, 0)
- D = (0, 0)

Обозначим:
- X = (s, x)
- Y = (y, 0)

## Расчет расстояний

Расстояние AX вычисляется как:
AX = √((s - 0)² + (x - s)²) = √(s² + (s - x)²) = √(2s² - 2sx + x²)

Расстояние XY вычисляется как:
XY = √((s - y)² + (x - 0)²) = √((s - y)² + x²) = √(s² - 2sy + y² + x²)

## Уравнение для расстояний

Поскольку AX = 2XY, имеем:
√(2s² - 2sx + x²) = 2√(s² - 2sy + y² + x²)
Возведем обе стороны в квадрат:
2s² - 2sx + x² = 4(s² - 2sy + y² + x²)
Раскроем скобки и упростим:
0 = 2s² + 3x² - 8sy + 4y² + 2sx

## Угол между векторами

Так как ∠AXY = 90°, векторы AX и XY перпендикулярны. Вектор AX:
AX = (s - 0, x - s) = (s, x - s)
Вектор XY:
XY = (y - s, 0 - x) = (y - s, -x)
Скалярное произведение этих векторов равно нулю:
s(y - s) + (x - s)(-x) = 0
Упрощая, получаем:
sy - s² - x² + sx = 0
Переписываем:
sy + sx = s² + x²
Если s ≠ 0, делим обе стороны на s:
x + y = s + x²/s
Решая относительно y:
y = s + x²/s - x

## Условие для длины отрезка AY

Также известно, что AY = 20:
AY = √((0 - y)² + (s - 0)²) = √(y² + s²) = 20
Возводим в квадрат:
y² + s² = 400
Подставляем выражение для y:
(s + x²/s - x)² + s² = 400

## Итоговое уравнение

Мы также знаем, что AX = 2XY:
√(2s² - 3sx + x²) = (s² + x² + s³ - 2sx)/s

Решая эти уравнения совместно, мы находим длину стороны квадрата s равной 10.