Решите задачу с помощью системы уравнений.

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b , где a > b .

По условию задачи у нас есть два уравнения:

1. Площадь треугольника:

1 / 2ab = 60


Упрощая, получаем:

ab = 120


2. Разность катетов:

a - b = 2


Теперь мы можем выразить a через b из второго уравнения:

a = b + 2


Подставим это выражение в первое уравнение:

(b + 2)b = 120


Раскроем скобки:

b² + 2b - 120 = 0


Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = 2² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-120) = 4 + 480 = 484


Корень из дискриминанта:

√(D) = √(484) = 22


Теперь найдем корни уравнения:

b = -2 ± 22 / 2


Находим два возможных значения для b :

1. b = 20/2 = 10

2. b = (-24)/2 = -12 (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Таким образом, b = 10 . Теперь найдем a :

a = b + 2 = 10 + 2 = 12


Теперь мы знаем длины катетов: a = 12 см и b = 10 см.

Чтобы найти гипотенузу c , используем теорему Пифагора:

c² = a² + b²


Подставляем значения:

c² = 12² + 10² = 144 + 100 = 244


Следовательно,

c = √(244) = √(4 ⋅ 61) = 2√(61)


Таким образом, гипотенуза треугольника равна 2√(61) см.