Задача по дифференциальным уравнениям
В водоем было сброшено 10000кг соли при начальном объеме воды 90000 м^3, обнаружили, что в течении суток растворилась половина этого количества соли. Концентрацию насыщенного раствора соли считать равной 1/3. Определить, сколько соли растворилось бы в течении суток, если бы количество воды в водоеме было удвоено. Считать, что скорость растворения пропорциональна наличному количеству нерастворенного вещества и разности между концентрацией насыщенного раствора и концентрацией раствора в данный момент времени.
Из условия задачи можно состряпать диффур для, например, оставшейся массы соли (соли, которая осталась нерастворенной) с начальным условием:
m'(t) = - k m(t) (V c0 - m0 + m(t)), m(0) = m0,
где:
t - время:
T - время растворения половины соли,
m(t) - масса нерастворенной соли,
m0 - начальная масса соли,
с0 - концентрация насыщенного раствора,
V - объем воды,
k - просто некий коэффициентик, пока неизвестный.
Это всего лишь уравнение Бернулли, интегрируется (сюрприз) методом Бернулли.
Решение:
m(t) = (c0 V - m0) m0 / {c0 V exp(k [c0 V - m0] t) - m0}.
Еще известно:
m(T) = m0 / 2.
отсюда можно найти k:
m0 / 2 = (c0 V - m0) m0 / {c0 V exp(k [c0 V - m0] T) - m0}.
Далее портим уже готовое решение, заменяя V на 2 V. Получаем решение в случае с увеличенным вдвое объемом (но k теперь известно):
m(t) = (2 - s) m0 / {2 (2 - s)^[(2 - s) t / {T (1 - s)}] - s},
оказалось, удобно обозначить:
s = m0 / (c0 V).
Усе, знаем, сколько соли останется нерастворенной к моменту t. Можете подставить t = T, получите массу нерастворенной соли к моменту T. Вычитанием этой массы из m0 сможете найти массу соли, растворенной к моменту T в удвоенном объеме воды.