ЗАДАЧА ПО МАТЕМАТИКЕ, СРОЧНО!

Question

Сама задача:
Пусть a и b - различные числа. Известно, что остаток от деления многочлена P(x) на многочлен (x-a) равен некоторому числу C_1, остаток от деления многочлена P(x) на многочлен (x-b) равен некоторому числу C_2, а остаток от деления многочлена P(x) на многочлен (x-a)(x-b) равен некоторому числу C_3. Верно ли, что C_1=C_2=C_3? Ответ обоснуйте.
Буду очень благодарен вашему решению!

eldar_makeev_4 · Answer

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся теорией остатков многочленов. 
1. **Остаток от деления на (x-a)**: По теореме о остатке, если $ P(x) $ делится на $ (x-a) $, то остаток равен $ P(a) = C_1 $. 
2. **Остаток от деления на (x-b)**: Аналогично, если $ P(x) $ делится на $ (x-b) $, то остаток равен $ P(b) = C_2 $. 
3. **Остаток от деления на (x-a)(x-b)**: Остаток от деления $ P(x) $ на произведение многочленов $ (x-a)(x-b) $ можно записать в виде: 
   $$ 
   P(x) = (x-a)(x-b)Q(x) + R(x) 
   $$ 
   где $ R(x) $ — это многочлен степени меньше 2, то есть имеет вид $ R(x) = Ax + B $. Остатки от деления на $ (x-a) $ и $ (x-b) $ можно выразить через $ R(x) $: 
   - $ R(a) = Aa + B = C_1 $ 
   - $ R(b) = Ab + B = C_2 $ 
4. **Наконец, подставляем $ x = a $ и $ x = b $ в $ R(x) $**: 
   - При $ x = a $: 
     $$ 
     R(a) = C_1 
     $$ 
   - При $ x = b $: 
     $$ 
     R(b) = C_2 
     $$ 
Теперь, чтобы понять, равны ли $ C_1 $, $ C_2 $ и $ C_3 $: 
- **Сравниваем $ C_1 $ и $ C_2 $**: 
  Из $ R(a) = C_1 $ и $ R(b) = C_2 $ видно, что $ C_1 $ и $ C_2 $ зависят от коэффициентов $ A $ и $ B $. Если $ A $ не равно нулю (а оно не может быть равно нулю, так как $ a $ и $ b $ различны), то в общем случае $ C_1 $ не равно $ C_2 $. 
- **Сравниваем с $ C_3 $**: 
  Остаток $ C_3 $ не может быть равен одновременно $ C_1 $ и $ C_2 $, так как $ R(x) $ имеет вид $ Ax + B $ и в общем случае не может равняться константе. 
Таким образом, $ C_1 $, $ C_2 $ и $ C_3 $ не равны между собой. Ответ: **нет, C_1 \neq C_2 \neq C_3**.