Задача по геометрии! решите кому не лень! 8 класс

Для доказательства того, что четырёхугольник $ABKM$ является параллелограммом, достаточно показать, что противоположные стороны этого четырёхугольника параллельны друг другу.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию задачи, точки $K$ и $M$ лежат соответственно на сторонах $BC$ и $AD$, причём $KC = MD$.

Так как $AB \parallel CD$ (по определению параллелограмма), то $\angle BAC = \angle CAD$ (как соответственные углы при параллельных прямых и секущей). Аналогично, $\angle ABC = \angle ACD$.

Теперь рассмотрим треугольники $AKC$ и $AMD$. У них равны соответствующие углы ($\angle KAC = \angle MAD$ и $\angle AKC = \angle AMD$) и соответствующие стороны ($KC = MD$). Следовательно, эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними).

Отсюда следует, что $AK = AM$ и $AC = AD$. Но тогда $BK = DM$ (так как $BK + KC = BC$ и $DM + MD = DA$), а значит, $BK \parallel DM$.