Вывести выражение для расчета относительной погрешности косвенных измерений

Для расчета относительной погрешности косвенных измерений, когда результат вычисляется по формуле, необходимо использовать метод дифференцирования. В данном случае формула для объема \( V \) имеет вид:

\[ V = \sqrt{\frac{2RT}{M}} \]

где:
- \( R \) - универсальная газовая постоянная,
- \( T \) - температура,
- \( M \) - молярная масса.

Относительная погрешность \( \delta V \) для косвенных измерений вычисляется по формуле:

\[ \delta V = \sqrt{\left( \frac{\partial V}{\partial R} \cdot \delta R \right)^2 + \left( \frac{\partial V}{\partial T} \cdot \delta T \right)^2 + \left( \frac{\partial V}{\partial M} \cdot \delta M \right)^2} \]

где:
- \( \delta R \), \( \delta T \), \( \delta M \) - абсолютные погрешности измерений \( R \), \( T \), \( M \) соответственно.

Теперь найдем частные производные \( \frac{\partial V}{\partial R} \), \( \frac{\partial V}{\partial T} \), \( \frac{\partial V}{\partial M} \):

1. **Производная по \( R \):**

\[ \frac{\partial V}{\partial R} = \frac{\partial}{\partial R} \left( \sqrt{\frac{2RT}{M}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2RT}{M} \right)^{-1/2} \cdot \frac{2T}{M} = \frac{T}{M \sqrt{\frac{2RT}{M}}} = \frac{T}{M \cdot V} \]

2. **Производная по \( T \):**

\[ \frac{\partial V}{\partial T} = \frac{\partial}{\partial T} \left( \sqrt{\frac{2RT}{M}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2RT}{M} \right)^{-1/2} \cdot \frac{2R}{M} = \frac{R}{M \sqrt{\frac{2RT}{M}}} = \frac{R}{M \cdot V} \]

3. **Производная по \( M \):**

\[ \frac{\partial V}{\partial M} = \frac{\partial}{\partial M} \left( \sqrt{\frac{2RT}{M}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2RT}{M} \right)^{-1/2} \cdot \left( -\frac{2RT}{M^2} \right) = -\frac{RT}{M^2 \sqrt{\frac{2RT}{M}}} = -\frac{RT}{M^2 \cdot V} \]

Подставляем эти производные в формулу для относительной погрешности:

\[ \delta V = \sqrt{\left( \frac{T}{M \cdot V} \cdot \delta R \right)^2 + \left( \frac{R}{M \cdot V} \cdot \delta T \right)^2 + \left( -\frac{RT}{M^2 \cdot V} \cdot \delta M \right)^2} \]

Упрощаем:

\[ \delta V = \frac{1}{V} \sqrt{\left( \frac{T}{M} \cdot \delta R \right)^2 + \left( \frac{R}{M} \cdot \delta T \right)^2 + \left( \frac{RT}{M^2} \cdot \delta M \right)^2} \]

Таким образом, относительная погрешность \( \delta V \) для косвенных измерений объема \( V \) вычисляется по формуле:

\[ \delta V = \frac{1}{V} \sqrt{\left( \frac{T}{M} \cdot \delta R \right)^2 + \left( \frac{R}{M} \cdot \delta T \right)^2 + \left( \frac{RT}{M^2} \cdot \delta M \right)^2} \]