Помогите решить дифференциально уравнение
2x(y ^ 3 + 5) - 3y ^ 2 * (x ^ 2 - 1) * y' = 0 ;
Чтобы решить дифференциальное уравнение
2x(y^3 + 5) - 3y^2(x^2 - 1)y' = 0,
начнем с приведения его к стандартному виду.
Шаг 1: Приведение к стандартному виду
Перепишем уравнение:
3y^2(x^2 - 1)y' = 2x(y^3 + 5)
Теперь выразим y':
y' = (2x(y^3 + 5)) / (3y^2(x^2 - 1))
Шаг 2: Разделение переменных
Теперь мы можем разделить переменные:
dy / (y^2(y^3 + 5)) = (2x / (3(x^2 - 1))) dx
Шаг 3: Интегрирование обеих сторон
Теперь интегрируем обе стороны:
∫(1 / (y^2(y^3 + 5))) dy = ∫(2x / (3(x^2 - 1))) dx
Интеграл слева
Для интеграла слева, можно использовать метод разложения на простые дроби.
∫(1 / (y^2(y^3 + 5))) dy можно разложить как:
A/y + B/y^2 + (Cy + D)/(y^3 + 5)
После разложения и нахождения A, B, C и D, интегрируем каждую часть.
Интеграл справа
Интеграл справа:
∫(2x / (3(x^2 - 1))) dx = (1/3) ∫(2x / (x^2 - 1)) dx
Этот интеграл можно решить с помощью подстановки u = x^2 - 1, du = 2x dx.
Шаг 4: Объединение результатов
После интегрирования обеих сторон, получим общее решение в виде:
F(y) = G(x) + C,
где F(y) и G(x) — результаты интегрирования.
Разделяйте переменные (все, что с x, налево, все, что с y, направо, dx и dy должны остаться в числителях).
Вешайте знак интегриования на все равенство (слева будет интеграл по dx, справа по dy).
Интегрируйте (там элементарные интегралы), не забывайте константу интегрирования.
Если хочется, после интегрирования можно выразить y через x.
Фото скинь пж