Геометрия 10 класс
Дана правильная четырёхугольная пирамида. Угол между основанием пирамиды и её боковым ребром равен 45°, высота пирамиды — 12. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Пусть правильная четырёхугольная пирамида обозначена как SABCD, где ABCD — квадрат в основании, а S — вершина пирамиды. Высота пирамиды SO = 12. Угол между основанием пирамиды (плоскостью ABCD) и боковым ребром (например, SA) равен 45°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA, где OA — апофема основания, SO — высота пирамиды, а SA — боковое ребро. Угол SOA равен 90°, а угол между SA и плоскостью ABCD — это угол между SA и OA, который равен 45°. В прямоугольном треугольнике SOA ∠SAO = 45°, следовательно, треугольник SOA — равнобедренный прямоугольный. Это означает, что SO = OA = 12.
OA — апофема основания, которая является половиной диагонали квадрата ABCD. Пусть сторона квадрата равна a. Тогда диагональ квадрата равна a√2, а апофема OA = a√2 / 2.
Поскольку OA = 12, имеем:
a√2 / 2 = 12 a√2 = 24 a = 24 / √2 = 12√2
Теперь мы можем найти площадь основания:
S_осн = a² = (12√2)² = 288
Площадь боковой грани — это площадь равнобедренного треугольника. Боковое ребро SA найдём по теореме Пифагора в треугольнике SOA:
SA² = SO² + OA² = 12² + 12² = 288 SA = √288 = 12√2
Площадь одной боковой грани:
S_бок = (1/2) * a * SA = (1/2) * 12√2 * 12√2 = 144
Так как боковых граней 4, общая площадь боковой поверхности:
S_бок_общ = 4 * 144 = 576
Полная площадь поверхности пирамиды:
S_полн = S_осн + S_бок_общ = 288 + 576 = 864
Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды равна 864.