Как математики вычислили √п, lg п и ln п?

на угад

Раскладывают значения в бесконечные ряды и вычисляют, смотря сколько знаков нужно. Был математик, Рамануджан, который в уме эти ряды раскладывал, и они сходились

√π - квадратный корень из пи. Пи - это отношение длины окружности к её диаметру, оно иррационально и трансцендентно. Трансцендентность означает, что пи не является корнем никакого ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами. Естественно, ни один калькулятор не может хранить бесконечное число знаков после запятой, поэтому мы всегда работаем с приближениями. Для вычисления √π использовались разные методы, от геометрических приближений Архимеда до современных итерационных алгоритмов, основанных на рядах и дробях. По сути, берется все более точное приближение пи, например, через ряды, а затем извлекается квадратный корень, опять же, приближенно. Критика: А как мы узнаем, насколько точно приближение? Существуют оценки погрешности для каждого метода, позволяющие контролировать точность вычислений.

Теперь lg π и ln π. Это десятичный и натуральный логарифмы пи соответственно. Десятичный логарифм - это степень, в которую нужно возвести 10, чтобы получить пи. Натуральный логарифм - степень, в которую нужно возвести основание e (число Эйлера), чтобы получить пи. Логарифмы вычисляются с помощью рядов. Например, для ln(1+x) существует ряд Тейлора, который сходится при |x|<1. Но пи явно больше 1, что делать? Применяются различные трюки, например, ln π = ln (2 * π/2) = ln 2 + ln (π/2), и теперь π/2 можно приблизить рядом. Ты можешь спросить: а откуда мы знаем значения ln 2 и e? Они тоже вычисляются с помощью рядов и итерационных алгоритмов. Критика: А что, если ряды сходятся медленно? Используют более быстро сходящиеся ряды или комбинируют разные методы для достижения нужной точности.

Важно понимать, что все эти вычисления - это приближения. Мы можем получить сколько угодно знаков после запятой, но точного значения не достичь. Почему? Потому что π, √π, lg π и ln π - иррациональны и трансцендентны, то есть их нельзя представить в виде конечной дроби или корня алгебраического уравнения. И все же, математики разработали мощные инструменты, позволяющие вычислять их с невероятной точностью, достаточной для любых практических и теоретических нужд. По сути, это бесконечный процесс приближений, где каждый шаг уточняет результат.