Что заставляет электричество и магнетизм быть одним целым?

На самом деле магнитное поле, это как бы "деформированное" или "искаженное" электрическое поле.

Это релятивистские искажения электрического поля, когда заряды двигаются с какой-то скоростью.
В специальной теории относительности Эйнштейна показано, что для неподвижного наблюдателя все длины вдоль направления движения в движущейся системе отсчета сокращаются по закону

L = L0 * SQRT(1 - (V / C)^2)

Здесь L0 - длина в неподвижной системе отсчета, L - длина, которую наблюдает неподвижный наблюдатель, V -скорость движения, а C, это скорость света.

Когда электрон относительно вас покоится, то его электрическое поле имеет центральную симметрию, а поверхности одинакового потенциала представляют собой идеальные сферы вокруг электрона.
Но если этот электрон движется относительно вас, то его поле уже не будет иметь центральную симметрию. Оно сплющивается в направлении движения по формуле, приведенной выше. А поверхности одинакового потенциала будут представлять собой эллипсоиды вращения с осями вдоль направления движения. Вот такое будет искажение электрического поля точечного заряда.

Вот такое искажение электрического поля удобно представить, как еще одно дополнительное псевдо-поле, которое и называется магнитным полем.

Когда по прямому проводнику бежит постоянный электрический ток, то вокруг проводника образуется круговое магнитное поле. И это поле можно зафиксировать, например, с помощью отклонения стрелки компаса. Но если компас будет двигаться вдоль этого проводника со средней скоростью электронов в токе, то компас не обнаружит никакого магнитного поля около проводника в постоянным током. (Это не совсем так, так как все электроны в токе имеют разные скорости, а не одну скорость, но магнитное поле будет в 100-1000 раз меньше. Если бы все свободные электроны имели бы одну скорость, то магнитное поле около проводника с током было бы точно нулевым.)

В целом, магнитное поле является очень удобным способом описания релятивистских искажений электрического поля. Если бы отказались от концепции магнитного поля, и, соответственно, от уравнений Максвелла, то все вычисления в электродинамике были бы очень трудными.