Задачи по арифметической прогрессии 9 класс

Задача 1:

Найдем сумму тридцати пяти первых членов арифметической прогрессии, если ее восемнадцатый член равен 14.

Формула для n-го члена арифметической прогрессии: aₙ = a₁ + (n-1)d, где a₁ - первый член, d - разность. Формула для суммы n первых членов арифметической прогрессии: Sₙ = n/2 * (2a₁ + (n-1)d)

Нам дано: a₁₈ = 14. Подставим в формулу для n-го члена:

14 = a₁ + 17d

Нам нужно найти S₃₅. Подставим в формулу суммы:

S₃₅ = 35/2 * (2a₁ + 34d) = 35 * (a₁ + 17d)

Поскольку 14 = a₁ + 17d, то:

S₃₅ = 35 * 14 = 490

Ответ: Сумма тридцати пяти первых членов равна 490.

Задача 2:

Найдём сумму первых двадцати четырёх членов арифметической прогрессии (aₙ), если a₇ + a₉ + a₁₅ + a₁₉ = 39.

Используем формулу для n-го члена:

a₇ = a₁ + 6d a₉ = a₁ + 8d a₁₅ = a₁ + 14d a₁₉ = a₁ + 18d

Сложим эти члены:

a₇ + a₉ + a₁₅ + a₁₉ = 4a₁ + 46d = 39

Разделим на 4:

a₁ + 11,5d = 39/4 = 9,75

Формула суммы первых n членов: Sₙ = n/2 * (2a₁ + (n-1)d)

S₂₄ = 12 * (2a₁ + 23d) = 24a₁ + 276d = 24(a₁ + 11,5d) = 24 * 9,75 = 234

Ответ: Сумма двадцати четырех первых членов равна 234.

Задача 3:

Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 20, а сумма первых одиннадцати членов равна -88. Найдём первый член и разность прогрессии.

S₅ = 5/2 * (2a₁ + 4d) = 5a₁ + 10d = 20 S₁₁ = 11/2 * (2a₁ + 10d) = 11a₁ + 55d = -88

Разделим первое уравнение на 5:

a₁ + 2d = 4

Разделим второе уравнение на 11:

a₁ + 5d = -8

Вычтем первое уравнение из второго:

3d = -12 d = -4

Подставим d = -4 в первое уравнение:

a₁ + 2(-4) = 4 a₁ = 12

Ответ: Первый член a₁ = 12, разность d = -4.