Теория вероятности и статистика

а) Выражения для плотности распределения вероятности:

Нормальное распределение задается двумя параметрами: математическим ожиданием (средним значением) μ и стандартным отклонением σ. Плотность распределения вероятности нормальной случайной величины X имеет вид:

f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x - μ)² / (2σ²)))

где:

x - текущее значение случайной величины
μ - математическое ожидание (среднее значение)
σ - стандартное отклонение
e ≈ 2.71828 (основание натурального логарифма)
π ≈ 3.14159
У нас заданы интервалы, в которые попадает X, но нам нужно определить μ и σ для каждого X. Предположим, что данные интервалы, это доверительные интервалы, которые соответствуют правилу 2-х стандартных отклонений. То есть, μ - 2σ, μ + 2σ

Для X1 ∈ (-2; 2):

μ₁ = (-2 + 2) / 2 = 0
2σ₁ = 2 - 0 = 2 => σ₁ = 1
f₁(x) = (1 / (1 * √(2π))) * e^(-((x - 0)² / (2 * 1²))) = (1 / √(2π)) * e^(-x²/2)
Для X2 ∈ (2; 2):

Здесь есть проблема! X2 должен быть диапазоном, а не одной точкой!
Предположим, что Вы ошиблись и X2 ∈ (-2;2)
μ₂ = (-2 + 2) / 2 = 0
2σ₂ = 2 - 0 = 2 => σ₂ = 1
f₂(x) = (1 / (1 * √(2π))) * e^(-((x - 0)² / (2 * 1²))) = (1 / √(2π)) * e^(-x²/2)
Для X3 ∈ (-2; 3):

μ₃ = (-2 + 3) / 2 = 0.5
2σ₃ = 3 - 0.5 = 2.5 => σ₃ = 1.25
f₃(x) = (1 / (1.25 * √(2π))) * e^(-((x - 0.5)² / (2 * 1.25²))) = (1 / (1.25√(2π))) * e^(-(x-0.5)²/3.125)
б) Графики плотности распределения вероятности:

Для построения графиков f1(x) и f2(x), f1(x) и f3(x) с учетом правила 3σ (т.е. в пределах диапазона от μ - 3σ до μ + 3σ), нужно рассчитать значения функции в этом диапазоне. Так как, f1(x) = f2(x), то их графики будут совпадать. Я, к сожалению, не могу нарисовать графики здесь, но я опишу, как их построить:

Для f₁(x) и f₂(x):

Диапазон: от μ - 3σ до μ + 3σ = от 0 - 3 * 1 = -3 до 0 + 3 * 1 = 3.
Рассчитайте значения f₁(x) для разных значений x в диапазоне от -3 до 3.
Постройте график с осью X (от -3 до 3) и осью Y (значения f₁(x)).
f1(x) будет выглядеть как колокол.
Для f₁(x) и f₃(x):

Для f₁(x): Диапазон тот же (от -3 до 3).
Для f₃(x):
Диапазон: от 0.5 - 3 * 1.25 = -3.25 до 0.5 + 3 * 1.25 = 4.25
Рассчитайте значения f₃(x) для разных значений x в диапазоне от -3.25 до 4.25.
Постройте графики на одном рисунке: ось X (общая от -3.25 до 4.25), а ось Y - значения f₁(x) и f₃(x) (две кривые).
f1(x) и f3(x) будут выглядеть как колокола с разными центрами и разной “шириной”.
в) Вероятности попадания в интервалы:

Для нахождения вероятности попадания в заданные интервалы, необходимо вычислить интегралы от плотности вероятности в этих пределах. Это достаточно сложная математическая операция, для которой обычно используются специальные таблицы или калькуляторы.

Для нормального распределения есть Z-таблицы, которые показывают интеграл от 0 до определенного количества стандартных отклонений от среднего.
Мы должны перевести наши интервалы в количество стандартных отклонений.
Для X1:

(-3.2, 3.7)
Переводим в количество стандартных отклонений относительно µ=0, σ=1:
(-3.2 - 0) / 1 = -3.2
(3.7 - 0)/ 1 = 3.7
P(-3.2 < X1 < 3.7) ≈ 1 (практически 100%)
(-4.9, 6.2)
(-4.9-0)/1 = -4.9
(6.2-0)/1 = 6.2
P(-4.9 < X1 < 6.2) ≈ 1 (практически 100%)
Для X2 (предполагаем, что X2 ∈ (-2;2)):

(-3.2, 3.7)
(-3.2 - 0) / 1 = -3.2
(3.7 - 0) / 1 = 3.7 * P(-3.2 < X2 < 3.7) ≈ 1 (практически 100%)
(-4.9, 6.2)
(-4.9 - 0) / 1 = -4.9
(6.2 - 0) / 1 = 6.2
P(-4.9 < X2 < 6.2) ≈ 1 (практически 100%)
Для X3:

(-3.2, 3.7)
(-3.2 - 0.5) / 1.25 = -2.96
(3.7-0.5)/1.25 = 2.56 * P(-3.2 < X3 < 3.7) = 0.9907 (примерно 99.1%)
(-4.9, 6.2)
(-4.9-0.5)/1.25 = -4.32
(6.2-0.5)/1.25 = 4.56
P(-4.9 < X3 < 6.2) ≈ 1 (практически 100%)