Помогите с математикой
Как найти производную квадратный корень из Х, с помощью предельного отношения?
производная √x через предел:
f’(x) = lim (h→0) [√(x+h) - √x] / h
умножаем на сопряженное:
f’(x) = lim (h→0) [(x+h) - x] / [h(√(x+h) + √x)]
упрощаем:
f’(x) = lim (h→0) h / [h(√(x+h) + √x)]
сокращаем h:
f’(x) = lim (h→0) 1 / [√(x+h) + √x]
подставляем h=0:
f’(x) = 1 / [√x + √x]
f’(x) = 1 / (2√x)
ответ: производная √x = 1 / (2√x)
Чтобы найти производную квадратного корня из x с помощью предельного отношения, можно следовать стандартной процедуре:
Дать функции y, равной f(x) в точке x, приращение Δx: f(x+ Δx) = √(x+ Δx).
Рассмотреть, чему равно приращение y: Δy = f(x+Δx) - f(x) = √(x+ Δx) - √(x).
Из этого следует, что: Δy / Δx = (√(x+ Δx) - √(x)) / Δx.
Домножить всё полученное выражение на (√(x+ Δx) + √(x)). В результате чего в числителе получается разность квадратов, равная (x+ Δx) - x = Δx, а дробь преображается до следующей формы: Δy / Δx = 1 / √(x+ Δx) + √(x).
Взять предел полученного отношения при Δx → 0.
В результате производная корня из x будет равна 1 / 2√(x).
Посчитай
