Помогите найти коэффициент k и корни уравнения

Для решения уравнения x² + kx + 16 = 0 с условием, что корни x₁ и x₂ удовлетворяют x₁ = 4x₂, обозначим корни как x₂ = x и x₁ = 4x.

Согласно свойствам квадратного уравнения, сумма корней x₁ + x₂ равна -k, а произведение корней x₁ ⋅ x₂ равно 16. Таким образом, можем записать:

1. Сумма корней:

x₁ + x₂ = 4x + x = 5x = -k


2. Произведение корней:

x₁ ⋅ x₂ = 4x ⋅ x = 4x² = 16


Теперь решим уравнение для произведения:

4x² = 16


x² = 4



x = 2 или x = -2


Теперь подставим найденные значения x в уравнение для суммы корней, чтобы найти k.

1. Если x = 2:

5(2) = -k ⇒ 10 = -k ⇒ k = -10



2. Если x = -2:

5(-2) = -k ⇒ -10 = -k ⇒ k = 10


Таким образом, мы нашли два возможных значения для коэффициента k:

• k = -10 (при x₂ = 2)

• k = 10 (при x₂ = -2)

Теперь найдем корни уравнения для каждого случая.

▎Случай 1: k = -10

Уравнение:

x² - 10x + 16 = 0


Дискриминант:

D = (-10)² - 4 ⋅ 1 ⋅ 16 = 100 - 64 = 36


Корни:

x_(1,2) = 10 ± √(36) / 2 = 10 ± 6 / 2



x₁ = 16 / 2 = 8, x₂ = 4 / 2 = 2


▎Случай 2: k = 10

Уравнение:

x² + 10x + 16 = 0


Дискриминант:

D = (10)² - 4 ⋅ 1 ⋅ 16 = 100 - 64 = 36


Корни:

x_(1,2) = -10 ± √(36) / 2 = -10 ± 6 / 2



x₁ = -4 / 2 = -2, x₂ = -16 / 2 = -8

Таким образом, возможные значения для коэффициента k и соответствующие корни:

• Для k = -10: x₁ = 8, x₂ = 2

• Для k = 10: x₁ = -2, x₂ = -8