Геометрия 8 класс
1. Отрезки КС и MN пересекаются в точке О, так что отрезок КМ параллелен отрезку NC. Докажите, что треугольники КМО и NCO подобны. Найдите КМ, если ON=12см, МО=64см, NC=34см.
2. В подобных треугольниках MNO и РКТ стороны MN и РК являются сходственными. Найдите стороны треугольника PKT, если MN=6см, NO=8см OM=10см, PK MN=3,6. Найдите отношение площадей треугольников.
3. На сторонах КМ и МО треугольника КМО отмечены точки С и В так, что КС=СМ, МВ=ВО, СВ=10см. Найдите сторону КО
Задача 1
Дано: Отрезки КС и MN пересекаются в точке О. КМ || NC. ON = 12 см, MO = 64 см, NC = 34 см.
Найти: доказать, что ΔKMO ~ ΔNCO, и найти KM.
Решение:
Доказательство подобия:
Угол KOM = углу CON (вертикальные углы)
Угол KMO = углу NCO (накрест лежащие углы при KM || NC и секущей КС)
Угол MKO = углу CNO (накрест лежащие углы при KM || NC и секущей MN)
Поскольку два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, треугольники KMO и NCO подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Это обозначается так: ΔKMO ~ ΔNCO.
Нахождение KM:
Поскольку треугольники KMO и NCO подобны, их соответствующие стороны пропорциональны. Это означает, что KM / NC = MO / ON = KO / OC
Нас интересует отношение KM / NC и MO / ON. Мы знаем все эти величины, кроме KM. Запишем пропорцию: KM / NC = MO / ON
Подставим известные значения: КМ / 34 = 64 / 12
Чтобы найти KM, нужно умножить обе части на 34: KM = (64 * 34) / 12
Сократим дробь: КМ = (16 * 34) / 3
Вычисляем: КМ = 544 / 3 = 181 1/3 см
Ответ: ΔKMO ~ ΔNCO; KM = 181 1/3 см
Задача 2
Дано: ΔMNO ~ ΔPKT. MN и PK — подобные стороны. MN = 6 см, NO = 8 см, OM = 10 см, PK = 3,6 см.
Найти: Стороны треугольника PKT и отношение площадей треугольников.
Решение:
Находим коэффициент подобия:
Коэффициент подобия (k) равен отношению сходственных сторон: k = PK / MN
Подставим значения: k = 3,6 / 6 = 0,6
Находим стороны треугольника PKT:
Поскольку треугольники подобны, то все соответствующие стороны пропорциональны с коэффициентом k: PK / MN = KT / NO = PT / MO = k
Мы знаем k, MN, NO и MO. Найдём KT и PT:
KT / NO = k => KT / 8 = 0,6 => KT = 8 * 0,6 = 4,8 см
PT / MO = k => PT / 10 = 0,6 => PT = 10 * 0,6 = 6 см
Находим отношение площадей:
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: S(PKT) / S(MNO) = k²
Подставляем k: S(PKT) / S(MNO) = (0,6)² = 0,36
Ответ: Стороны ΔPKT: PK = 3,6 см, KT = 4,8 см, PT = 6 см. Отношение площадей: 0,36
Задача 3
Дано: точки C и B на сторонах KM и MO соответственно. КС = СМ, МВ = ВО, СВ = 10 см.
Найти: Сторону КО.
Решение:
Рассмотрим треугольник КМО:
Так как КС = СМ, то точка С - середина стороны КМ
Так как МВ = ВО, то точка В - середина стороны МО
Свойство средней линии треугольника:
Отрезок СВ, соединяющий середины двух сторон треугольника (КМ и МО), является средней линией треугольника КМО.
Средняя линия параллельна третьей стороне (КО) и равна её половине: СВ = 1/2 * КО
Находим КО:
Подставляем значение СВ: 10 = 1/2 * КО
Умножаем обе части на 2: КО = 2 * 10 = 20 см
Ответ: КО = 20 см
Объяснение для 7 класса:
Подобие треугольников: это означает, что два треугольника имеют одинаковую форму, но могут отличаться по размеру. У них одинаковые углы, а стороны отличаются на одно и то же число (коэффициент подобия).
Сходные стороны: это стороны, которые «соответствуют» друг другу в подобных треугольниках.
Средняя линия треугольника: это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Он всегда параллелен третьей стороне и в два раза меньше её.
Пропорции: это равенство двух отношений, например: a/b = c/d. Они помогают решать задачи, в которых нужно найти неизвестную сторону в подобных треугольниках.
Ответ удалён