Векторы a и b взаимно перпендикулярны. Зная, что |a|=2, |b|=1, вычислить: |[(3a-b)(a-2b)]|, (3a-b)(a-2b), (а-2b) ²

1. Вычисление |[(3a-b)(a-2b)]|:

Разложим векторное произведение, используя свойства дистрибутивности и антикоммутативности:

`(3a - b) x (a - 2b) = 3(a x a) - 6(a x b) - (b x a) + 2(b x b)`
Учитывая, что векторное произведение вектора на себя равно нулю (a x a = 0, b x b = 0) и что b x a = - (a x b), получим:

`(3a - b) x (a - 2b) = -6(a x b) + (a x b) = -5(a x b)`
Найдем модуль векторного произведения:

`| (3a - b) x (a - 2b) | = |-5(a x b)| = 5 |a x b|`
Поскольку векторы a и b перпендикулярны, модуль их векторного произведения равен произведению их модулей:

`|a x b| = |a| |b| sin(90°) = |a| |b| = 2 1 = 2`
Подставляем найденное значение:

`| (3a - b) x (a - 2b) | = 5 2 = 10`
Ответ: |[(3a-b)(a-2b)]| = 10

2. (3a-b)⋅(a-2b):

Раскроем скалярное произведение, используя свойства дистрибутивности:

`(3a - b) ⋅ (a - 2b) = 3(a ⋅ a) - 6(a ⋅ b) - (b ⋅ a) + 2(b ⋅ b)`
Учитывая, что a ⋅ a = |a|², b ⋅ b = |b|², и что a ⋅ b = b ⋅ a = 0 (так как векторы перпендикулярны), получим:

`(3a - b) ⋅ (a - 2b) = 3|a|² + 2|b|² = 3 2² + 2 1² = 3 4 + 2 1 = 12 + 2 = 14`
Ответ: (3a-b)⋅(a-2b) = 14

3. (a-2b)²:

Раскроем квадрат скалярного произведения:

`(a - 2b)² = (a - 2b) ⋅ (a - 2b) = a ⋅ a - 4(a ⋅ b) + 4(b ⋅ b)`
Учитывая, что a ⋅ a = |a|², b ⋅ b = |b|², и что a ⋅ b = 0, получим:

`(a - 2b)² = |a|² + 4|b|² = 2² + 4 1² = 4 + 4 = 8`
Ответ: (a-2b)² = 8