Задача по геометрии 10 класс

Question

Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке P. Точка M - середина той дуги AC окружности, которая не содержит точку B, точка N - середина той дуги BD окружности, которая не содержит точку A. Докажите, что биссектриса угла APC параллельна прямой MN.

net_18636 · Accepted Answer

### **Доказательство:**
#### **Шаг 1: Рассмотрим свойства точек M и N**  
Поскольку точки $ M $ и $ N $ — середины дуг **без** точек $ B $ и $ A $ соответственно, они обладают важным свойством:  
- Точка $ M $ является **центром окружности** с вписанным углом $ \angle AMC = 90^\circ $, то есть $ \overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{MC} $.  
- Аналогично, точка $ N $ является **центром окружности**, и $ \overrightarrow{BN} \perp \overrightarrow{ND} $.  
Таким образом, прямые $ AM $ и $ MC $ перпендикулярны друг другу, а также $ BN $ и $ ND $ перпендикулярны.
#### **Шаг 2: Рассмотрим углы в точке P**  
Рассмотрим углы $ \angle APC $ и $ \angle BPD $. Они являются вертикальными и равны. Биссектриса угла $ \angle APC $ делит его на два равных угла.
Теперь рассмотрим четырехугольники $ AMPC $ и $ BPND $:
- Они являются **вписанными**, так как все их вершины лежат на окружности.
- Из свойств вписанных четырехугольников следует, что углы **напротив точек M и N** равны.
#### **Шаг 3: Доказательство параллельности биссектрисы и MN**  
Так как биссектриса угла $ \angle APC $ делит его пополам, то угол между биссектрисой и хордой $ AC $ равен углу между прямыми $ MN $ и хордой $ AC $, так как точка $ M $ является серединой дуги $ AC $.  
Аналогично точка $ N $ симметрична относительно дуги $ BD $. Таким образом, биссектриса угла $ \angle APC $ и прямая $ MN $ образуют **одинаковые углы с хордами** $ AC $ и $ BD $, что означает их **параллельность**.  
**Вывод:**  
Биссектриса угла $ \angle APC $ параллельна прямой $ MN $, что и требовалось доказать. ✅