Срочно!!!Помогите с геометрией, пожалуйста!!

1) Доказательство перпендикулярности линии пересечения плоскостей ABM и CDM к плоскости BCM

Дано:
ABCD - квадрат
BM ⊥ (ABCD)
Плоскости ABM и CDM пересекаются по некоторой прямой l

Требуется доказать: l ⊥ (BCM)

Доказательство:

1. BM ⊥ (ABCD) (по условию) => BM ⊥ BC и BM ⊥ BA. Так как ABCD - квадрат, то BC ⊥ BA. Следовательно, BC ⊥ (ABM) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

2. Пусть l - линия пересечения плоскостей ABM и CDM. Значит, l лежит в плоскости ABM. Поскольку BC ⊥ (ABM), то BC ⊥ l.

3. Пусть O - точка пересечения прямых AB и CD. Тогда плоскость CDM содержит прямую CD, которая параллельна AB. Следовательно, плоскости ABM и CDM пересекаются по прямой l, параллельной AB и CD.

4. Так как l || AB, и BM ⊥ AB, то BM ⊥ l.

5. Итак, мы имеем:
BC ⊥ l
BM ⊥ l
BC и BM лежат в плоскости BCM и пересекаются в точке B.

6. Следовательно, l ⊥ (BCM) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

2) Нахождение угла между прямыми SM и CK

Дано:
SABC - пирамида
ABC - равносторонний треугольник, AB = BC = CA = 4√2 см
SC ⊥ (ABC), SC = 2 см
M - середина BC
K - середина AB

Требуется найти: угол между прямыми SM и CK

Решение:

1. Найдем координаты точек в прямоугольной системе координат. Примем точку C за начало координат (0, 0, 0). Ось CX направим вдоль CB, ось CY - перпендикулярно CB в плоскости ABC, а ось CZ - вдоль SC.

2. Определим координаты точек:
C (0, 0, 0)
B (4√2, 0, 0)
A (2√2, 2√6, 0) (высота равностороннего треугольника равна a√3/2, где a - сторона. Высота, проведенная из B, является координатой Y точки A)
S (0, 0, 2)
M (2√2, 0, 0) (середина BC)
K (3√2, √6, 0) (середина AB)

3. Найдем координаты векторов SM и CK:
SM = OM - OS = (2√2, 0, -2)
CK = OK - OC = (3√2, √6, 0)

4. Найдем косинус угла между векторами SM и CK:
cos(α) = (SM · CK) / (|SM| · |CK|) = ((2√2)(3√2) + (0)(√6) + (-2)(0)) / (√((2√2)² + 0² + (-2)²) · √((3√2)² + (√6)² + 0²)) = (12) / (√(8 + 4) · √(18 + 6)) = 12 / (√12 · √24) = 12 / (√(12 · 24)) = 12 / √(288) = 12 / (12√2) = 1 / √2 = √2 / 2

5. Найдем угол α:
α = arccos(√2 / 2) = 45°

Ответ: Угол между прямыми SM и CK равен 45°.