Базисы и вектора

Видимо, разбираться, что вообще происходит в этом предмете, вы не пробовали? Иначе вы бы заметили, что в теории буквально содержится рецепт для выполнения этих заданий.
1) Чтобы векторы образовывали базис в R3 их должно быть 3, и они должны быть линейнонезависимы. Для проверки векторов на линейную зависимость используем определитель. Составляете из ваших векторов матрицу, считаете ее определитель. Если он 0, значит векторы линейно зависимы, и базисом не являются. Если он не 0, значит векторы линейно независимы, и, раз их три, они являются базисом в R3.
(перед вычислением определителя можно над этой матрицей поиздеваться элементарными преобразваниями, чтобы получить в ней хотя бы несколько нулей, тогда определитель будет вычисляться сильно быстрее).
-
Разложить вектор B по векторам A1, A2, A3 означает найти такие числа b1, b2, b3, что:
B = b1 A1 + b2 A2 + b3 A3.
Записываете это равенство покомпонентно:
8 b1 + 3 b2 + 7 b3 = -16,
3 b1 - 8 b2 + 4 b3 = 72,
11 b1 - 4 b2 + 11 b3 = 47.
Если векторы A1, A2 и A3 образуют базис, тогда определитель системы не 0, и система имеет единственное решение.
-
2) Для отыскания базиса тоже нужно использовать определитель. Стряпаете из ваших пяти векторов матрицу (векторы записываете, например, как столбцы). Затем начинаете складывать векторы друг с другом (если записали их как столбцы, значит складываете столбцы матрицы) так, чтобы получить ступенчатую матрицу. Некоторые столбцы при этом зануляться. Нулевой столбец при этом можно выкинуть, а вектор, на месте которого этот нулевой столбец появился, заклеймить как "не часть базиса". Когда получите ступенчатую матрицу, никакие больше столбцы вы занулить не сможете. На каких местах эти столбцы остались, на тех местах и были написаны базисные векторы.
-
Ну а вторая часть задания на разложение, там то же самое, что и во второй части первого задания.