Вычислить интеграл с точностью до 0.001

Question

Вычислить интеграл с точностью до 0.001

Alex Plays Знаток (370), закрыт 5 часов назад

Answer 1

Сначала можно сделать очевидную замену

 X = 5x

Далее будем рассматривать искомое как 1/5 от значения функции от f(X) (нижний порог зафиксирован на 0, верхний - X) при X=1

 f(X) = ∫ cos X² dX

Разложим данную функцию в ряд Тэйлора (или Маклорена)

 f(0) = 0
f'(X) = cos X²                         f'(0) = 1
f''(X) = - 2X sin X²                   f''(0) = 0
f'''(X) = - 2 sin X² - 4X² cos X²      f'''(0) = 0
f''''(X) = - 4X cos X² + 8X³ sin X² - 8X cos X² =
         = 8X³ sin X² - 12X cos X²     f''''(0) = 0
f'⁵(X) = 16X⁴ cos X² + 24X² sin X² + 24X² sin X² - 12 cos X² =
       = 48X² sin X² + (16X⁴ - 12) cos X²
                                       f'⁵(0) = -12
f'⁶(X) = 96X³ cos X² + 96X sin X² + 64X³ cos X² - 2X (16X⁴ - 12) sin X² =
       = 160X³ cos X² - (32X⁵ - 120X) sin X²
                                       f'⁶(0) = 0
f'⁷(X) = - 320X⁴ sin X² + 480X² cos X² - (160X⁴ - 120) sin X² - 2X (32X⁵ - 120X) cos X² =
       = - (64X⁶ - 720X²) cos X² - (480X⁴ - 120) sin X²
                                       f'⁷(0) = 0
f'⁸(X) = (128X⁷ - 3360X³) sin X² + (1680X - 1344X⁵) cos X²
                                       f'⁸(0) = 0

f'⁹(X) = (3584X⁶ - 13440X²) sin X² + (256X⁸ - 13440X⁴ + 1680) cos X² 
                                       f'⁹(0) = 1680


f(X) = X - 12/5! X⁵ + 1780/9! X⁹ - ...
f(X) = X - 1/10 X⁵ + 89/18144 X⁹ - ...
f(1) ≈ 0.905

Ответ: 0.181