Помогите решить пример по высшей математике. неопределенный интеграл методом интегрирования по частям.
∫ ln(x² + 1) dx
u = ln(x² + 1)
du = (2x / (x² + 1)) dx
∫ ln(x² + 1) dx = x ln(x² + 1) - ∫ x * (2x / (x² + 1)) dx
∫ ln(x² + 1) dx = x ln(x² + 1) - 2 ∫ (x² / (x² + 1)) dx
∫ (x² / (x² + 1)) dx = ∫ ((x² + 1 - 1) / (x² + 1)) dx = ∫ (1 - (1 / (x² + 1))) dx
∫ (x² / (x² + 1)) dx = ∫ 1 dx - ∫ (1 / (x² + 1)) dx = x - arctan(x) + C
∫ ln(x² + 1) dx = x ln(x² + 1) - 2 * (x - arctan(x)) + C
∫ ln(x² + 1) dx = x ln(x² + 1) - 2x + 2 arctan(x) + C
Шаг \(\int \ln \left(x^{2}+1\right)dx\)\(\int \ln \left(x^{2}+1\right)dx\)Чтобы использовать формулу интегрирования по частям, разложим выражение как \(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot 1\)\(\int \ln \left(x^{2}+1\right)\xpmhighlightbox{bgcolor=#D3E3FD, underlinecolor=#D3E3FD}{\cdot 1}dx\)Шаг \(\int \ln \left(x^{2}+1\right)\cdot 1dx\)\(\xpmhighlightbox{bgcolor=#D3E3FD, underlinecolor=#D3E3FD}{\int \ln \left(x^{2}+1\right)\cdot 1dx}\)Для подготовки к интегрированию по частям определим \(u\) и \(dv\)Шаг \(u=\ln \left(x^{2}+1\right)\\ dv=1dx\)\(\xpmhighlightbox{bgcolor=#D3E3FD, underlinecolor=#D3E3FD}{u=\ln \left(x^{2}+1\right)}\\ dv=1dx\)Вычислим дифференциал по формуле \(du=u^{\prime }dx\)\(\xpmhighlightbox{bgcolor=#D3E3FD, underlinecolor=#D3E3FD}{du=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2xdx}\\ dv=1dx\)Шаг \(du=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2xdx\\ dv=1dx\)\(du=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2xdx\\ \xpmhighlightbox{bgcolor=#D3E3FD, underlinecolor=#D3E3FD}{dv=1dx}\)Определим \(v\) путем вычисления интеграла\(du=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2xdx\\ \xpmhighlightbox{bgcolor=#D3E3FD, underlinecolor=#D3E3FD}{v=x}\)Шаг \(du=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2xdx\\ v=x\)Подставим \(u=\ln \left(x^{2}+1\right)\), \(v=x\), \(du=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2xdx\) и \(dv=1dx\) в \(\int udv=uv-\int vdu\)\(\xpmhighlightbox{bgcolor=#D3E3FD, underlinecolor=#D3E3FD}{\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-\int x\cdot \frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2xdx}\)Шаг \(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-\int x\cdot \frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2xdx\)\(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-\xpmhighlightbox{bgcolor=#D3E3FD, underlinecolor=#D3E3FD}{\int x\cdot \frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2xdx}\)Используем свойство интегралов \(\int a\cdot f\left(x\right)dx=a\cdot \int f\left(x\right)dx,a\in \mathbb{R}\)\(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-\xpmhighlightbox{bgcolor=#D3E3FD, underlinecolor=#D3E3FD}{1\cdot 2\cdot \int x\cdot \frac{1}{x^{2}+1}\cdot xdx}\)Шаг \(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-1\cdot 2\cdot \int x\cdot \frac{1}{x^{2}+1}\cdot xdx\)\(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-\xpmhighlightbox{bgcolor=#D3E3FD, underlinecolor=#D3E3FD}{1}\cdot 2\cdot \int x\cdot \frac{1}{x^{2}+1}\cdot xdx\)Любое выражение, умноженное на \(-1\), равно ему противоположному\(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-2\cdot \int x\cdot \frac{1}{x^{2}+1}\cdot xdx\)Шаг \(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-2\cdot \int x\cdot \frac{1}{x^{2}+1}\cdot xdx\)\(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-2\cdot \int \xpmhighlightbox{bgcolor=#D3E3FD, underlinecolor=#D3E3FD}{x\cdot \frac{1}{x^{2}+1}\cdot x}dx\)Вычислим произведение\(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-2\cdot \int \xpmhighlightbox{bgcolor=#D3E3FD, underlinecolor=#D3E3FD}{\frac{x^{2}}{x^{2}+1}}dx\)Шаг \(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-2\cdot \int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx\)\(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-2\cdot \int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx\)Прибавим и отнимем \(1\)\(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-2\cdot \int \frac{\xpmhighlightbox{bgcolor=#D3E3FD, underlinecolor=#D3E3FD}{x^{2}+1-1}}{x^{2}+1}dx\)Шаг \(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-2\cdot \int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx\)\(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-2\cdot \int \xpmhighlightbox{bgcolor=#D3E3FD, underlinecolor=#D3E3FD}{\frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}}dx\)Разделим дробь на \(2\) дробей\(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-2\cdot \int \xpmhighlightbox{bgcolor=#D3E3FD, underlinecolor=#D3E3FD}{\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1}}dx\)Шаг \(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-2\cdot \int \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1}dx\)\(\ln \left(x^{2}+1\right)\cdot x-2\cdot \xpmhighlightbox{bgcolor=#D3E3FD,
О боже
Тут тебе только бог поможет