Между римскими гениями и арабскими джиннами есть что-то этимологически общее?

Не, цыгане - это для буржуев египтяне.

Оргия - это изначально обжираловка, её до римлян придумали.

Пифагор - не римлянин, а грек. Очень древний грек.

В буржуйском джиннов называют genies.

Это со времен ислама, до ислама джины имели позитивный смысл.
Это были скорей всего старые боги арабов, знания о которых уничтожил ислам.

По-буржуйски = по-английский; по-фашистски = по-немецки. Это великий и могучий русский язык, тут возможны подобные замены, понятные читателю.