Задача по геометрии.
Пожалуйста, помогите решить задачу без использования тангенса.
Прямая AB касается окружности с центром в точке O и радиусом r в точке B. Найдите длину отрезка AB, если известно, что угол AOB равен 60 градусам, а радиус окружности составляет 12 сантиметров.
Дано:
(O; r)
r = 12 см
АВ — касательная
∠AOB = 60°
Найти:
AB — ?
Решение:
Т.к. AB — касательная к окружности в точке В, то угол ∠ABO — прямой (90°). Поэтому, ∆ АОВ — прямоугольный.
sin (∠AOB) = AB / AO
sin (60°) = AB / AO
Т.к., ∠АВО = 90° и ∠АОВ = 60°, найдём ∠ВАО. 180° - (90° + 60°) = 30°.
В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. ОВ лежит против ∠BAO, значит ОВ = 1/2 АО.
AO = 2 × OB = 2 × r = 2 × 12 см = 24 см
AB = AO × sin(60°) = 24 см × (√3 / 2) = 12√3 см
треуг АОВ прямоугольный, угол ОАВ = 30 град, значит ОА = 24см, далее по теореме Пифагора