Математические методы и модели в расчётах процессов химической технологии

Математические методы и модели в расчётах процессов химической технологии
В данном ответе мы рассмотрим предложенную схему химических реакций, выведем систему дифференциальных уравнений, опишем алгоритм её решения, проведем ручной оценочный расчёт и проанализируем полученные результаты.
1. Схема химических реакций в стандартной форме и вывод системы ДУ
Заданная схема химических реакций:
* A \xrightarrow{K_1} B
* B \xrightarrow{K_2} C
* C \xrightarrow{K_3} E
* E \xrightarrow{K_4} A
Предполагается, что все реакции являются реакциями первого порядка. Скорости этих реакций можно записать следующим образом:
* r_1 = K_1[A]
* r_2 = K_2[B]
* r_3 = K_3[C]
* r_4 = K_4[E]
Где [A], [B], [C], и [E] – концентрации соответствующих компонентов.
Теперь запишем дифференциальные уравнения, описывающие изменение концентраций каждого компонента во времени:
* Для компонента A:
Концентрация A уменьшается за счет реакции (1) и увеличивается за счет реакции (4).
\frac{d[A]}{dt} = -K_1[A] + K_4[E]
* Для компонента B:
Концентрация B увеличивается за счет реакции (1) и уменьшается за счет реакции (2).
\frac{d[B]}{dt} = K_1[A] - K_2[B]
* Для компонента C:
Концентрация C увеличивается за счет реакции (2) и уменьшается за счет реакции (3).
\frac{d[C]}{dt} = K_2[B] - K_3[C]
* Для компонента E:
Концентрация E увеличивается за счет реакции (3) и уменьшается за счет реакции (4).
\frac{d[E]}{dt} = K_3[C] - K_4[E]
Начальные условия (при t=0):
* [A]_0 = 1 (что соответствует 100%)
* [B]_0 = 0
* [C]_0 = 0
* [E]_0 = 0
Константы скоростей реакций:
* K_1 = 0.1 \text{ с}^{-1}
* K_2 = 0.2 \text{ с}^{-1}
* K_3 = 0.3 \text{ с}^{-1}
* K_4 = 0.4 \text{ с}^{-1}
2. Алгоритм решения задачи методом Эйлера и его блок-схема
Для решения системы дифференциальных уравнений будем использовать простой и широко известный численный метод – метод Эйлера.
Метод Эйлера
Метод Эйлера является методом первого порядка точности. Для системы ДУ вида \frac{dY}{dt} = f(t, Y), решение на следующем шаге по времени t_{i+1} = t_i + h (где h – шаг по времени) находится по формуле:
Y(t_{i+1}) = Y(t_i) + h \cdot f(t_i, Y(t_i))
В нашем случае, Y = ([A], [B], [C], [E]), а f(t, Y) представляет собой правые части системы ДУ:
f_A = -K_1[A] + K_4[E]
f_B = K_1[A] - K_2[B]
f_C = K_2[B] - K_3[C]
f_E = K_3[C] - K_4[E]
Алгоритм решения:
* Инициализация:
* Задать начальные концентрации: [A]_0, [B]_0, [C]_0, [E]_0.
* Задать константы скоростей реакций: K_1, K_2, K_3, K_4.
* Задать начальное время t_{start} = 0.
* Задать конечное время t_{end} = 1 \text{ с}.
* Задать шаг по времени h = 0.1 \text{ с}.
* Установить текущее время t = t_{start}.
* Установить текущие концентрации равными начальным: [A] = [A]_0, [B] = [B]_0, [C] = [C]_0, [E] = [E]_0.
* Итерационный цикл (пока t < t_{end}):
a. Рассчитать правые части системы ДУ для текущих концентраций:
* dAdt = -K_1[A] + K_4[E]
* dBdt = K_1[A] - K_2[B]
* dCdt = K_2[B] - K_3[C]
* dEdt = K_3[C] - K_4[E]
b. Рассчитать новые значения концентраций на следующем шаге по времени:
* [A]_{new} = [A] + h \cdot dAdt
* [B]_{new} = [B] + h \cdot dBdt
* [C]_{new} = [C] + h \cdot dCdt
* [E]_{new} = [E] + h \cdot dEdt
c. Обновить текущие концентрации:
* [A] = [A]_{new}
* [B] = [B]_{new}
* [C] = [C]_{new}
* [E] = [E]_{new}

Далее: https://g.co/gemini/share/c7bf7ea55f3b